Noncommutative Versions of Symmetric Functions

Symmetric functionの非可換版がある。 Noncommutative symmetric function と呼ばれるものと symmetric function in noncommting variables と呼ばれるものの2種類あるようである。

• symmetric function in noncommuting variables
• noncommutative symmetric function

Aliniaeifard, Li, van Willigenburg [ALW] によると, 前者は, Margarete Wolf の [Wol36] により導入されたのが最初のようである。 通常の symmetric function と parallel な理論が Rosas と Sagan の [RS06] で構築されている。 Aliniaeifard らは, Schur function の類似について考えている。

後者は Gel\('\)fand らの [Gel+95] で導入された。 Hazewinkel の解説 [Haz03; Haz06] がある。

Retakh の [Ret10] によると, Gel\('\)fand らの noncommutative symmetric function の理論 の構築において重要なステップだったのは, 非可換環上の多項式の因数分解での“解と係数の関係”の発見だったようである。

通常の symmetric function や quasisymmetric function と同様, noncommutative symmetric function は Hopf algebra \(\mathrm {NSymm}\) を成す。いわゆる combinatorial Hopf algebra の例である。

通常の symmetric function 全体 \(\mathrm {Symm}\) は \(\mathrm {BU}\) の \(\Z \) 係数コホモジー環と Hopf algebra として同型になるが, noncommutative symmetric function については, Baker と Richter [BR08] により, Hopf algebra の同型 \[ \mathrm {NSymm} \cong H_{*}(\Omega \Sigma \CP ^{\infty };\Z ) \] があることが分かっている。

References

[ALW]

Farid Aliniaeifard, Shu Xiao Li, and Stephanie van Willigenburg. Schur functions in noncommuting variables. arXiv: 2105.09964.

[BR08]

Andrew Baker and Birgit Richter. “Quasisymmetric functions from a topological point of view”. In: Math. Scand. 103.2 (2008), pp. 208–242. arXiv: math/0605743.

[Gel+95]

Israel M. Gelfand et al. “Noncommutative symmetric functions”. In: Adv. Math. 112.2 (1995), pp. 218–348. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1995.1032.

[Haz03]

Michiel Hazewinkel. “Symmetric functions, noncommutative symmetric functions, and quasisymmetric functions”. In: Acta Appl. Math. 75.1-3 (2003). Monodromy and differential equations (Moscow, 2001), pp. 55–83. arXiv: math/0410468. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1022323609001.

[Haz06]

Michiel Hazewinkel. “Symmetric functions, noncommutative symmetric functions and quasisymmetric functions. II”. In: Noncommutative algebra and geometry. Vol. 243. Lect. Notes Pure Appl. Math. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2006, pp. 126–146. arXiv: math.QA/0410470.

[Ret10]

Vladimir Retakh. “From factorizations of noncommutative polynomials to combinatorial topology”. In: Cent. Eur. J. Math. 8.2 (2010), pp. 235–243. arXiv: 0911.4454. url: https://doi.org/10.2478/s11533-010-0008-5.

[RS06]

Mercedes H. Rosas and Bruce E. Sagan. “Symmetric functions in noncommuting variables”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 358.1 (2006), pp. 215–232. arXiv: math/0208168. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-04-03623-2.

[Wol36]

Margarete C. Wolf. “Symmetric functions of non-commutative elements”. In: Duke Math. J. 2.4 (1936), pp. 626–637. url: https://doi.org/10.1215/S0012-7094-36-00253-3.