Formal Algebra

ここでいう “formal” というのは, formal power series の意味の formal である。 Rational homotopy theory の意味の formal ではない。

具体的には, ある代数的対象に filtration が入っているとき, その filtration に関して completion をとってできたものが典型的な例である。

例えば, 多項式環 \(k[x]\) の completion として formal power series algebra \(k[[x]]\) が得られる。

• 多項式と多項式環
• formal power series ring
• profinite group や profinite module
• completed tensor product

参考文献としては, Hamilton と Lazarev の [HL; HL09] の Appendix A や Shatz の本 [Sha72] がある。 Profinite group については, Ribes と Zalesskii の本 [RZ10] がある。

Formal power series そのものも重要である。 微分方程式の解を形式的に求めたりするときに便利である。もちろん, 代数的トポロジーでは, complex oriented cohomology theory に関する formal group law として現れる。そのためには formal power series の計算に慣れ親しんでいる必要がある。Formal power series については, Hardy の [Har92] を読んでみると面白いかもしれない。これは web 上で閲覧することができる。 最近のものでは, Sambale の [Sam] がある。 Wilf の [Wil06] もある。第2版は, link の入ったものが 著者の website から download できる。

• generating function

この手のことは, Leinster 流の small category の Euler 標数などでも必要となる。

関連したこととして umbral calculus というものもある。 複素コボルディズムに関する Ray の仕事 [Ray87] で, その存在知った。

• umbral calculus

Ranicki [Ran95]によると, Novikov [Nov82] が, \(S^1\)-valued Morse theory を考えるために用いたことから, \(R((z))\) や \(R((z^{-1}))\) は, Novikov ring と呼ばれているらしい。

• Novikov ring

低次元多様体の不変量としても, formal power series が現れることがある。Garoufalidis と Le の [GL08] では, そのような “quantum invariant” として現れる formal power series のいくつがが, Gevrey series という種類のものであることを示している。

• \(q\)-holonomic function
• \(q\)-hypergeometric functions

Garoufalidis の [Gar11] に書かれているように, “quantum topology” から様々な \(q\)-holonomic function が自然に現れてきて興味深い。

この \(q\)-holonomic function というのは, Zeilberger [Zei90] による用語であり, Wilf との共著による有名な論文 [WZ90] がある。

実数の \(q\)-deformation も考えられている。 Morier-Genoud らの [MO22] など。

• \(q\)-deformed real number

References

[Gar11]

Stavros Garoufalidis. “Knots and tropical curves”. In: Interactions between hyperbolic geometry, quantum topology and number theory. Vol. 541. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2011, pp. 83–101. arXiv: 1003.4436. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/541/10680.

[GL08]

Stavros Garoufalidis and Thang T. Q. Lê. “Gevrey series in quantum topology”. In: J. Reine Angew. Math. 618 (2008), pp. 169–195. arXiv: math/0609618. url: http://dx.doi.org/10.1515/CRELLE.2008.036.

[Har92]

G. H. Hardy. Divergent series. With a preface by J. E. Littlewood and a note by L. S. Bosanquet, Reprint of the revised (1963) edition. Sceaux: Éditions Jacques Gabay, 1992, pp. xvi+396. isbn: 2-87647-131-0. url: http://www.archive.org/details/divergentseries033523mbp.

[HL]

Alastair Hamilton and Andrey Lazarev. Homotopy algebras and noncommutative geometry. arXiv: math/0410621.

[HL09]

Alastair Hamilton and Andrey Lazarev. “Cohomology theories for homotopy algebras and noncommutative geometry”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.3 (2009), pp. 1503–1583. arXiv: 0707.3937. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2009.9.1503.

[MO22]

Sophie Morier-Genoud and Valentin Ovsienko. “On \(q\)-deformed real numbers”. In: Exp. Math. 31.2 (2022), pp. 652–660. arXiv: 1908. 04365. url: https://doi.org/10.1080/10586458.2019.1671922.

[Nov82]

S. P. Novikov. “The Hamiltonian formalism and a multivalued analogue of Morse theory”. In: Uspekhi Mat. Nauk 37.5(227) (1982), pp. 3–49, 248.

[Ran95]

Andrew Ranicki. “Finite domination and Novikov rings”. In: Topology 34.3 (1995), pp. 619–632. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(94)00036-K.

[Ray87]

Nigel Ray. “Symbolic calculus: a 19th century approach to \(M\mathrm {U}\) and BP”. In: Homotopy theory (Durham, 1985). Vol. 117. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987, pp. 195–238.

[RZ10]

Luis Ribes and Pavel Zalesskii. Profinite groups. Second. Vol. 40. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]. Berlin: Springer-Verlag, 2010, pp. xvi+464. isbn: 978-3-642-01641-7. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-01642-4.

[Sam]

Benjamin Sambale. An invitation to formal power series. arXiv: 2205. 00879.

[Sha72]

Stephen S. Shatz. Profinite groups, arithmetic, and geometry. Annals of Mathematics Studies, No. 67. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1972, pp. x+252.

[Wil06]

Herbert S. Wilf. generatingfunctionology. Third. Wellesley, MA: A K Peters Ltd., 2006, pp. x+245. isbn: 978-1-56881-279-3; 1-56881-279-5.

[WZ90]

Herbert S. Wilf and Doron Zeilberger. “Rational functions certify combinatorial identities”. In: J. Amer. Math. Soc. 3.1 (1990), pp. 147–158. url: http://dx.doi.org/10.2307/1990986.

[Zei90]

Doron Zeilberger. “A holonomic systems approach to special functions identities”. In: J. Comput. Appl. Math. 32.3 (1990), pp. 321–368. url: http://dx.doi.org/10.1016/0377-0427(90)90042-X.