Toda bracket

Toda bracket は, 合成 \(\alpha \circ \beta \) と \(\beta \circ \gamma \) が共に \(0\) であるような写像のホモトピー類の3つ組 \(\alpha , \beta , \gamma \) に対し定義される, ホモトピー集合の部分集合である。 安定ホモトピー集合のときは, \(\langle \alpha ,\beta ,\gamma \rangle \), 非安定ホモトピー集合のときは, \(\{\alpha ,\beta ,\gamma \}\) と表わされる。

高次のホモトピー作用素の一種である。

• ホモトピー作用素

ホモトピー群, 特に有限複体のホモトピー群についての具体的計算を行なうときに, この Toda bracket は非常に有効な道具であることは, Toda や Oka を始めとした日本人の homotopy theorists の仕事から分かる。

残念ながら, Toda bracket の解説としては Toda の本 [Tod62] ぐらいしかない。

新しい試みとしては, Hardie らの \(2\)-category を用いた記述がある。[Har+04] など。

Ring spectrum \(E\) の ホモトピー群 \(\pi _*(E)\) の Toda bracket を evaluation により与える universal な Toda bracket を Sagave が [Sag08] で構成している。

Laures は [Lau11] で, Toda bracket と \(e\)-invariant の Adams による公式を \(f\)-invariant に拡張している。

より多くの morphism の合成を考えると higher Toda bracket が定義される。

• higher Toda bracket

また, mapping cone があれば定義できるので, stable版については, triangulated category で定義できる。 Cohen による stable homotopy category での定義 [Coh68] を Shipley が triangulated category に直したものは, [Shi02] にある。

• triangulated category での higher Toda bracket

Shipley は, higher Toda bracket が triangulated category の同値で保たれることを, Appendix で示している。 Triangulated category での Toda bracket については, Sagave の [Sag08] で更に調べられている。

Adams スペクトル系列の \(E_{2}\)-term は \(\mathrm {Ext}\) なので, Massey product が定義されるが, それとホモトピー群での Toda bracket の関係は古くから調べられている。 Moss の [Mos70] など。

最近では, motivic homotopy theory でも Adams スペクトル系列が使われるようになっているが, そのための symmetric monoidal stable topological model category での Moss の定理の一般化が Belmont と Kong の [BK] で考えられている。

Christensen と Frankland [CF17] は, triangulated category での Toda bracket と triangulated category での Adams スペクトル系列の関係を調べている。

また, triangulated category より一般的な枠組みでの higher Toda bracket を Baues, Blanc, Gondhali [BBG16] が提案されている。ある種の monoidal category で enrich された category で定義されるようで, 定義にはホモトピーの概念も必要ないようである。もちろん homotopy invariant でないと通常の応用には意味がないが, ある種の monoidal model category で enrich された場合の Dwyer-Kan equivalence の下での不変性も示されている。

別の方向の一般化として, \(n\)-angulated category で, Frankland, Martensen, Thaule [FMT] が定義しているものがある。

References

[BBG16]

Hans-Joachim Baues, David Blanc, and Shilpa Gondhali. “Higher Toda brackets and Massey products”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 11.4 (2016), pp. 643–677. arXiv: 1503.02265. url: https://doi.org/10.1007/s40062-016-0157-8.

[BK]

Eva Belmont and Hana Jia Kong. A Toda bracket convergence theorem for multiplicative spectral sequences. arXiv: 2112.08689.

[CF17]

J. Daniel Christensen and Martin Frankland. “Higher Toda brackets and the Adams spectral sequence in triangulated categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 17.5 (2017), pp. 2687–2735. arXiv: 1510.09216. url: https://doi.org/10.2140/agt.2017.17.2687.

[Coh68]

Joel M. Cohen. “The decomposition of stable homotopy”. In: Ann. of Math. (2) 87 (1968), pp. 305–320. url: https://doi.org/10.2307/1970586.

[FMT]

Martin Frankland, Sebastian H. Martensen, and Marius Thaule. Toda brackets in \(n\)-angulated categories. arXiv: 2312.13209.

[Har+04]

K. A. Hardie, K. H. Kamps, H. J. Marcum, and N. Oda. “Triple brackets and lax morphism categories”. In: Appl. Categ. Structures 12.1 (2004). Homotopy theory, pp. 3–27. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:APCS.0000013803.33614.67.

[Lau11]

Gerd Laures. “Toda brackets and congruences of modular forms”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.4 (2011), pp. 1893–1914. arXiv: 1102.3783. url: https://doi.org/10.2140/agt.2011.11.1893.

[Mos70]

R. Michael F. Moss. “Secondary compositions and the Adams spectral sequence”. In: Math. Z. 115 (1970), pp. 283–310. url: https://doi.org/10.1007/BF01129978.

[Sag08]

Steffen Sagave. “Universal Toda brackets of ring spectra”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 360.5 (2008), pp. 2767–2808. arXiv: math/0611808. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-07-04487-X.

[Shi02]

Brooke Shipley. “An algebraic model for rational \(S^1\)-equivariant stable homotopy theory”. In: Q. J. Math. 53.1 (2002), pp. 87–110. arXiv: math/0108141. url: https://doi.org/10.1093/qjmath/53.1.87.

[Tod62]

Hirosi Toda. Composition methods in homotopy groups of spheres. Annals of Mathematics Studies, No. 49. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1962, pp. v+193.