Generalizations and Refinements of Triangulated Categories

Triangulated category の精密化として, ホモトピー論の視点からは, まずホモトピー圏を取る前のものを考えたい。

Bondal と Kapranov [BK90] は, dg category を用いて enhanced triangulated category の概念を考えたが, ホモトピー論的には, stable model category や stable \(\infty \)-category を用いるべきだろう。

• enhanced triangulated category
• stable model category
• stable \(\infty \)-category

この stable という形容詞が付いていることから分かるように, ホモトピー論的視点からは, triangulated category は, stabilize した後の構造を表している。ここでいう stabilize とは suspension が同型になるようにした, という意味である。

ということは, triangulated category の unstable 版として, suspension が同型にならないものを考えることも, 不自然ではない。 実際, Beligiannis と Marmaridis [BM94] により, そのようなものが定義されている。

• left triangulated category
• right triangulated category

Li が [Li15; Lia; Lib] で色々調べている。 Tattar [Tat] は extriangualted category との関係を調べている。

この extriangulated category というのは, Nakaoka と Palu [NP19] により導入された exact category と triangulated category の共通の一般化である。

• extriangulated category

別の方向への一般化としては, Geiss, Keller, Oppermann [GKO13] による \(n\)-angulated category というものがある。

• \(n\)-angulated category

Bergh と Thaule [BT14] が Grothendieck group を定義している。 彼等は, [BT13]で \(n\)-angulated categoryの公理を見直し, octahedral axiom の高次版を導入している。

Toda bracket が, Frankland, Martensen, Thaule [FMT] により定義されているように, 安定ホモトピー論の手法も使えるようである。

Pretriangulated category に対応する pre-\(n\)-angulated category は, He と Zhou と Zhou の [HZZ23] で定義されている。

Lin [Lin17] による one-sided \(n\)-angulated category という一般化がある。

• one-sided \(n\)-angulated category

Herschend, Liu, Nakaoka [HLN; HLN21; HLN22] は, \(n\)-exact category と \((n+2)\)-angulated category の共通の一般化として, \(n\)-exangulated category の概念を導入している。

• \(n\)-exangulated category

\((n-2)\)-exact category, \(n\)-angulated category, one-sided \(n\)-angulated category などの一般化として, He, Hu, Zhou [HHZ] による one-sided \(n\)-suspended category というものもある。

• one-sided \(n\)-suspended category

位相空間の圏での internal category の構造を持つ triangulated category を考えているのは, Igusa と Todorov [IT13] である。このような構造が自然に現われるのは興味深い。

Kashiwara と Schapira の仕事 [KS18] を始めとして, 最近 persistent homology で derived category 使われるのをよく目にするようになったが, triangulated category と persistence module の構造を組み合せたものを Biran, Cornea, Zhang [BCZb] が導入している。彼等は, derived Fukaya category の refinement を定義するのに用いている。

• persistence category
• triangulated persistence category

彼等は, [BCZa] では, Grothendieck group を調べている。

References

[BCZa]

Paul Biran, Octav Cornea, and Jun Zhang. Persistence \(K\)-theory. arXiv: 2305.01370.

[BCZb]

Paul Biran, Octav Cornea, and Jun Zhang. Triangulation, Persistence, and Fukaya categories. arXiv: 2304.01785.

[BK90]

A. I. Bondal and M. M. Kapranov. “Framed triangulated categories”. In: Mat. Sb. 181.5 (1990), pp. 669–683.

[BM94]

Apostolos Beligiannis and Nikolaos Marmaridis. “Left triangulated categories arising from contravariantly finite subcategories”. In: Comm. Algebra 22.12 (1994), pp. 5021–5036. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879408825119.

[BT13]

Petter Andreas Bergh and Marius Thaule. “The axioms for \(n\)-angulated categories”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.4 (2013), pp. 2405–2428. arXiv: 1112.2533. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2013.13.2405.

[BT14]

Petter Andreas Bergh and Marius Thaule. “The Grothendieck group of an \(n\)-angulated category”. In: J. Pure Appl. Algebra 218.2 (2014), pp. 354–366. arXiv: 1205.5697. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2013.06.007.

[FMT]

Martin Frankland, Sebastian H. Martensen, and Marius Thaule. Toda brackets in \(n\)-angulated categories. arXiv: 2312.13209.

[GKO13]

Christof Geiss, Bernhard Keller, and Steffen Oppermann. “\(n\)-angulated categories”. In: J. Reine Angew. Math. 675 (2013), pp. 101–120. arXiv: 1006.4592.

[HHZ]

Jing He, Yonggang Hu, and Panyue Zhou. One-sided \(n\)-suspended categories. arXiv: 2108.12728.

[HLN]

Martin Herschend, Yu Liu, and Hiroyuki Nakaoka. \(n\)-exangulated categories. arXiv: 1709.06689.

[HLN21]

Martin Herschend, Yu Liu, and Hiroyuki Nakaoka. “\(n\)-exangulated categories (I): Definitions and fundamental properties”. In: J. Algebra 570 (2021), pp. 531–586. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2020.11.017.

[HLN22]

Martin Herschend, Yu Liu, and Hiroyuki Nakaoka. “\(n\)-exangulated categories (II): Constructions from \(n\)-cluster tilting subcategories”. In: J. Algebra 594 (2022), pp. 636–684. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2021.11.042.

[HZZ23]

Jing He, Panyue Zhou, and Xingjia Zhou. “Pre-\((n+2)\)-angulated categories”. In: J. Algebra 620 (2023), pp. 452–477. arXiv: 2207.08103. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2022.12.035.

[IT13]

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[KS18]

Masaki Kashiwara and Pierre Schapira. “Persistent homology and microlocal sheaf theory”. In: J. Appl. Comput. Topol. 2.1-2 (2018), pp. 83–113. arXiv: 1705.00955. url: https://doi.org/10.1007/s41468-018-0019-z.

[Lia]

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[Lib]

Zhi-Wei Li. The triangulation of the subfactor categories of additive categories with suspensions. arXiv: 1510.02258.

[Li15]

Zhi-Wei Li. “The left and right triangulated structures of stable categories”. In: Comm. Algebra 43.9 (2015), pp. 3725–3753. arXiv: 1309.1364. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2014.923896.

[Lin17]

Zengqiang Lin. “Right \(n\)-angulated categories arising from covariantly finite subcategories”. In: Comm. Algebra 45.2 (2017), pp. 828–840. arXiv: 1409.2948. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2016.1175591.

[NP19]

Hiroyuki Nakaoka and Yann Palu. “Extriangulated categories, Hovey twin cotorsion pairs and model structures”. In: Cah. Topol. Géom. Différ. Catég. 60.2 (2019), pp. 117–193. arXiv: 1605.05607.

[Tat]

Aran Tattar. Right triangulated categories: As extriangulated categories, aisles and co-aisles. arXiv: 2106.09107.