Generalizations and Variations of Exact Categories

Quillen [Qui73] は, algebraic \(K\)-theory の定義のために exact category の概念を導入したが, その後, 様々な目的のために様々な方向に一般化されている。

まず, algebraic \(K\)-theory のためには, Waldhausen category (category with cofibrations and weak equivalences) がある。

• Waldhausen category

Huayi Chen は, [Che10] で exact category を一般化した arithmetic exact category という概念を定義している。ベクトル束の Harder-Narasimhan filtration を考えているなど, Bridgeland の意味の stability とどのように関係があるのか興味深い。

一般化としては, Bazzoni と Crivei の one-sided exact category [BC13] もある。そこでは, Rosenberg の preprint や Rump の [Rum10] などが挙げられている。

• left exact category と right exact category

Additive でない category への一般化として, Dyckerhoff と Kapranov [DK] が proto-exact category とその Waldhausen \(S\)-construction や Hall algebra を導入している。Hekking の master’s thesis [Hek17] や Eppolito, Jun, Szczesny の pointed matroid と strong map を調べた [EJS20] で使われている。 Jun と Sistko [JS23] によると \(\F _{1}\) 上の quiver の表現の圏も proto-exact category になるようである。

• proto-exact category

Nakaoka と Palu [NP19] は exact category と triangulated category の共通の一般化として extriangulated category という概念を導入している。

• extriangulated category

Barwick [Bar15; Bar] は \((\infty ,1)\)-category への一般化を考えて, その algebraic \(K\)-theory を調べている。

• exact \((\infty ,1)\)-category

Dg category からは, dg nerve を取ることにより quasicategory が得られるが, その上の Barwick の意味の exact structure に対応する dg category 上の構造として, Xiaofa Chen の thesis [Cheb] で導入された exact dg category がある。 Chen の [Chea] の Introduction にある図が分かり易い。

• exact dg category

他には, 次のような一般化や変種がある。

• CGW category [CZ22]
• ACGW category [CZ22]
• ECGW category [SS]
• \(n\)-exact category [Jas16]
• \(n\Z \)-exact category [EN]
• weakly exact category [Jaf]
• relative exact category [HM]
• complicial exact category [Sch11]
• A.I.S exact category [HR]
• semi-exact category [DGG17]
• exact category with duality [Sch10]

References

[Bar]

C. Barwick. On the \(Q\) construction for exact quasicategories. arXiv: 1301.4725.

[Bar15]

Clark Barwick. “On exact \(\infty \)-categories and the theorem of the heart”. In: Compos. Math. 151.11 (2015), pp. 2160–2186. arXiv: 1212.5232. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X15007447.

[BC13]

Silvana Bazzoni and Septimiu Crivei. “One-sided exact categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 217.2 (2013), pp. 377–391. arXiv: 1106. 1092. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.06.019.

[Chea]

Xiaofa Chen. Exact dg categories I : Foundations. arXiv: 2402. 10694.

[Cheb]

Xiaofa Chen. On exact dg categories. arXiv: 2306.08231.

[Che10]

Huayi Chen. “Harder-Narasimhan categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.2 (2010), pp. 187–200. arXiv: 0706 . 2648. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.05.009.

[CZ22]

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[DGG17]

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[DK]

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[EJS20]

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[EN]

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[Jas16]

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[JS23]

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[Qui73]

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[Rum10]

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[Sch10]

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[Sch11]

Marco Schlichting. “Higher algebraic \(K\)-theory”. In: Topics in algebraic and topological \(K\)-theory. Vol. 2008. Lecture Notes in Math. Springer, Berlin, 2011, pp. 167–241. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-15708-0_4.

[SS]

Maru Sarazola and Brandon Shapiro. A Gillet-Waldhausen Theorem for chain complexes of sets. arXiv: 2107.07701.