Hall Algebra

Abelian category や derived category の不変量として, Hall algebra というものがある。Cramer の [Cra10] によると, 最初に考えられたのは, 可換\(p\)群の圏の場合 [Ste01; Hal38] らしい。解説としては, Schiffmann の lecture note [Sch12] があるので, まずはこれを読むのがよいと思う。

Abelian category の場合の定義はそれ程難しくない。Object の同型類で生成 された free module に適当に積を入れただけである。ただし, その積は extension の個数を用いて定義されているので, その環構造が Abelian category の重要な構造を抽出していることになる。Exact category の場合については, 例えば, Hubery の [Hub06] に書いてある。

• Abelian category の Ringel-Hall algebra
• exact category の Ringel-Hall algebra

Hall algebra の有用性を示す応用としては, quiver と Lie 環 (の universal enveloping algebra の quantum deformation) との間の対応がある。 その Ringel による発見 [Rin90] 以来, Hall algebra の研究が盛んになったようである。 その起源やその後の発展については, Xiao らの [XXZ] や Xu と Chen の [XC] の Introduction, そして Bridgeland の [Bri13] の §1.1 が参考になる。 Bridgeland は, symmetric Kac-Moody algebra の quantum deformation 全体を構成している。

Universal enveloping algebra ではなく Lie algebra を直接作る方法もある。 \(2\)-periodic triangulated category を使う。Xiao と Xu と Zhang の [XXZ] や Fu の [Fu12] など。

• Ringel-Hall Lie algebra

Walker [Wal] は, quiver の表現の成す Abelian category の Hall algebra が, ある braided monoidal category の Hopf algebra object として表わせることを示している。普通のベクトル空間の monoidal structure ではダメであるが, Grothendieck group により twist した monoidal structure を使うといいようである。これは, Baez らによる Hall algebra の groupoidification と関係がある。 この Baez の blog post からたどって, Walker の thesis が download できる。

Kremnizer と Szczesny の [KS09] では, rooted forest や Feynman graph から作られた symmetric monoidal category に対し, Ringel-Hall algebra が定義されている。

Berestein と Greenstein [BG13] は Grothendieck group による grading に関し completion を取った Ringel-Hall algebra に対し exponential を考え, それにより quantum Chevalley group を定義している。

Szczesny [Szc12]は, \(\F _1\) 上の quiver の表現に対する Hall algebra を考えている。

他にも Hall algebra にはいくつかの拡張が知られている。Kapranov の [Kap98] は Abelian category に対して定義されてはいるが, derived equivalence で不変なので, derived category の不変量になっている。Toën の [Toë06] では dg category への拡張が定義されている。

• derived Hall algebra

その論文によると, quantum group などへの応用については, Deng と Xiao の [DX04] を見るとよいらしい。

曲面の Fukaya category の derived category の場合が Cooper と Samuelson [CS20] により調べられている。

Bergner は [Ber13] で Toën の構成の更なる拡張を考えている。

Quantum group の表現の Grothendieck ring の quantum deformation との関係については, Hernandez と Leclerc の [HL15] がある。

Joyce が [Joy07] で導入した motivic Hall algebra というものもある。Bridgeland の解説 [Bri12] がある。

• motivic Hall algebra

Motivic Hall algebra と呼ばれるものも色々あって, Kontsevich と Soibelman が [KS] で定義しているものや, Lowrey の [Low] などがある。

Xiao と Xu [XX15] は, algebra の Drinfel\('\)d dual という概念を導入して, Toën のものと Kontsevich-Soibelman のものを比較している。

Kontsevich と Soibelman [KS11] は, string theory に現れる algebra を数学的に定義しようと, cohomological Hall algebra というものを導入した。 String theory だけでなく, 数学の様々な分野に関係あるようである。 Kontsevich と Soibelman は, 同時に categorical Hall algebra や \(K\)-theoretic Hall algebra も定義している。

• cohomological Hall algebra
• categorical Hall algebra
• \(K\)-theoretic Hall algebra

Cohomological Hall algebra の一般化として, oriented cohomology を用いたものがある。Yang と Zhao の [YZ18] である。 その section 6 で具体的な spectrum について, 対応する Hall algebra のことが書いてあり興味深い。 特に, Morava \(K\)-theory の場合が詳しく書かれている。

Additive category ではない圏への拡張としては, Dyckerhoff と Kapranov の [DK; DK19] がある。Proto-exact category という exact category の一般化を導入し, それに対する Hall algebra を定義している。 Dyckerhoff の [Dyc18] も見ると良い。

この Dyckerhoff と Kapranov の方法で定義された Hall algebra としては, Eppolito, Jun, Szczesny の [EJS20] がある。基点付き matroid と strong map の圏の Hall algebra が Schmitt の matroid-minor Hopf algebra [Sch94] の dual であることを示している。

References

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[Bri12]

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