量子群の表現

量子群に対しても, Lie 群の場合のように表現が考えられる。Lie algebra の \(q\) 変形で得られる量子群の場合, 元の Lie algebra の表現の deformation で得られるものもある。

また, 量子群は pointed Hopf algebra の特別なものであるという立場から, Lie algebra や量子群の表現の性質がどこまで pointed Hopf algebra で成り立つかを調べるというのは, 自然な問題である。これについては, Andruskiewitsch らが調べている。例えば [ARS10] など。

• pointed Hopf algebra の表現

Compact 位相群の表現については Tannaka-Krein や Doplicher-Roberts の reconstruction theorem が成り立つが, それを量子群に拡張しようという試みもある。例えば, Müger と Roberts と Tuset の [MRT04] など。 Müger と Tuset は, [MT08] で discrete quantum group の表現の圏を特徴付けようとしている。

このように表現の成す圏の大域的構造を考えることは, 近年盛んに行なわれている。

• Khovanovらによる量子群の表現の categorification [HK01; BFK99]

有限次元の Lie algebra \(\mathfrak{g}\) に associate した量子群 \(U_q(\mathfrak{g})\) の表現で \(q\to 0\) の極限を取ったときに現われる組み合わせ論的構造が, Kashiwara により導入された crystal という概念である。

• crystal

二つの crystal の tensor \(A\otimes B\) に対しbraiding のような同型 \[ \sigma _{A,B} : A\otimes B \longrightarrow B\otimes A \] が Henriques と Kamnitzer により [HK06] 構成されている。 実際, これにより crystal の圏が braided monoidal category に似た構造を持つ。そして genus \(0\) の stable curve の moduli space と関係があるらしい。

量子群と ground field の root of unity から, Huang と Yang は [HY05] で quiver の double を構成している。そして quantized enveloping algebra の restricted version は, その path algebra の quotient であることを示している。

References

[ARS10]

Nicolás Andruskiewitsch, David Radford, and Hans-Jürgen Schneider. “Complete reducibility theorems for modules over pointed Hopf algebras”. In: J. Algebra 324.11 (2010), pp. 2932–2970. arXiv: 1001.3977. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2010.06.002.

[BFK99]

Joseph Bernstein, Igor Frenkel, and Mikhail Khovanov. “A categorification of the Temperley-Lieb algebra and Schur quotients of \(U(\mathfrak{sl}_2)\) via projective and Zuckerman functors”. In: Selecta Math. (N.S.) 5.2 (1999), pp. 199–241. arXiv: math/0002087. url: http://dx.doi.org/10.1007/s000290050047.

[HK01]

Ruth Stella Huerfano and Mikhail Khovanov. “A category for the adjoint representation”. In: J. Algebra 246.2 (2001), pp. 514–542. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.2001.8962.

[HK06]

André Henriques and Joel Kamnitzer. “Crystals and coboundary categories”. In: Duke Math. J. 132.2 (2006), pp. 191–216. arXiv: math/0406478. url: http://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-06-13221-0.

[HY05]

Hua-Lin Huang and Shilin Yang. “Quantum groups and double quiver algebras”. In: Lett. Math. Phys. 71.1 (2005), pp. 49–61. arXiv: math/0504493. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11005-004-5925-4.

[MRT04]

M. Müger, J. E. Roberts, and L. Tuset. “Representations of algebraic quantum groups and reconstruction theorems for tensor categories”. In: Algebr. Represent. Theory 7.5 (2004), pp. 517–573. arXiv: math/0203206. url: http://dx.doi.org/10.1023/B:ALGE.0000048337.34810.6f.

[MT08]

Michael Müger and Lars Tuset. “Monoids, embedding functors and quantum groups”. In: Internat. J. Math. 19.1 (2008), pp. 93–123. arXiv: math/0604065. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129167X08004558.