Lie群やLie環の表現

Lie群やLie環の表現について短かく簡潔にまとめたものとして, Kirillov と Kirillov Jr. の [KK06] がある。

まずは, 具体的に良く知られた群の表現を求めてみることが重要である。 可換な場合は行列の対角化の理論から \(1\)次元表現の直和になることがすぐ分かるので, 問題は非可換な場合である。 非可換な Lie群 の例として最も基本的なのは \(\SL _2(\bbC )\), そしてその compact 版である \(\mathrm{SU}(2)\) である。

• \(\SL _2(\bbC )\) と \(\mathrm{SU}(2)\) の既約表現

\(\mathrm{SU}(2)\) の既約表現を四面体の\(6\)個の頂点に配置したものから (classical) \(6j\)-symbol と呼ばれる実数が定義される。

• classical \(6j\)-symbol
• quantum \(6j\)-symbol

\(6j\)-symbol には, asymptotic formula という近似が知られているが, その公式を geometric quantization を用いて厳密に証明したのが, Justin Roberts の [Rob99] である。その後, Roberts は quantum \(6j\)-symbol の場合も考察した解説 [Rob02] を書いている。

References

[KK06]

A. Kirillov and A. Kirillov. “Compact Groups and Their Representations”. In: Encyclopedia of Mathematical Physics. Ed. by Jean-Pierre Françoise, Gregory L. Naber, and Tsou Sheung Tsun. Oxford: Academic Press, 2006, pp. 576–586. isbn: 978-0-12-512666-3. arXiv: math/0506118. url: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B0125126662004247.

[Rob02]

Justin Roberts. “Asymptotics and \(6j\)-symbols”. In: Invariants of knots and 3-manifolds (Kyoto, 2001). Vol. 4. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2002, 245–261 (electronic). arXiv: math/0201177. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2002.4.245.

[Rob99]

Justin Roberts. “Classical \(6j\)-symbols and the tetrahedron”. In: Geom. Topol. 3 (1999), 21–66 (electronic). arXiv: math-ph/9812013. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.1999.3.21.