Doplicher-Roberts の reconstruction theorem

Doplicher と Roberts の reconstruction theorem [DR89] は, ある条件をみたす symmetric monoidal \(C^*\)-category は, compact群の連続な有限次元 ユニタリ表現のなす圏と同値になるということを言っている。

Tannaka-Krein duality は有限次元 Hilbert空間の成す圏で, compact群の表現になっている圏を特徴付けるものであるが, Doplicher-Roberts の reconstruction theorem は, その圏の object が Hilbert空間でなくてもよいという点で, compact群の表現の成す圏の本質的な構造をとり出したものと言ってよいだろう。

Baezは, [Bae97] で, Doplicher-Roberts の reconstruction theorem は Gel\('\)fand-Naimark duality の categorification とみなすべきだと言っている。元々は Dolan が気が付いたことのようであるが。 ただし, 群ではなく groupoid を考えると, である。実際, topological (super) groupoid への拡張が Baez により得られている。

もともと Doplicher と Roberts の motivation は quantum field theory にあったようである。 Conformal field theory との関係については, Müger の [Müg01] などがある。

References

[Bae97]

John C. Baez. “Higher-dimensional algebra. II. \(2\)-Hilbert spaces”. In: Adv. Math. 127.2 (1997), pp. 125–189. arXiv: q-alg/9609018. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1997.1617.

[DR89]

Sergio Doplicher and John E. Roberts. “A new duality theory for compact groups”. In: Invent. Math. 98.1 (1989), pp. 157–218. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01388849.

[Müg01]

Michael Müger. “Conformal field theory and Doplicher-Roberts reconstruction”. In: Mathematical physics in mathematics and physics (Siena, 2000). Vol. 30. Fields Inst. Commun. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2001, pp. 297–319. arXiv: math-ph/0008027.