Quiver から定義される各種 algebra

Small category を扱うときには, その元になる基本的な構造として quiver を考えるべきである。

例えば, poset の incidence algebra の自然な拡張として, small category に対して定義される algebra [GS83] は, quiver から生成される free small category に対しては quiver の path algebra と呼ばれるものになる。

• quiver の path algebra

Favero と Huang は [FH] で, finite acyclic quiver に対し, path algebra をある ideal で割ったものとして, homotopy path algebra という algebra を導入している。 さらに, それに associate した small category を定義し, その 分類空間を調べていて興味深い。 その動機は, Bondal と Ruan による homological mirror symmetry の仕事 [Bon06] のようである。

• homotopy path algebra

グラフは, 組み合せ論の基本的な研究対象であるが, quiver は, 表現論でよく使われる。 (組み合わせ論で登場するときは, directed graph と呼ばれることが多い気がする。) そして Khovanov と Seidel の [KS02] で行なわれているように, graph から代数的 (幾何学的) 対象を構成するのは, 結構 popular な手法のようである。 これについては Reiten の AMS Notices の記事 [Rei97] が分かりやすい。Huerfano と Khovanov の [HK01] でも preprojective algebra の解説として参照されている。他には Crawley-Boevey の lecture note もある。

• quiver の double
• preprojective algebra

Huerfano と Khovanov は, Khovanov と Seidel の [KS02] などで調べられている graph から作られた algebra (彼らは zigzag algebra と呼んでいる) と preprojective algebra にの関係ついても述べている。他にも path algebra から作られるものとしては, Gel\('\)fand と Retakh と Serconek と Wilson [Gel+05] の splitting algebra がある。Noncommutative algebra での因数分解に関係するものらしい。

• graph の zigzag algebra [HK01]
• splitting algebra

ある一定の長さ以上の path を無視した truncated path algebra (truncated quiver algebra) というものもある。

• quiver の truncated path algebra

逆に, 一般の有限次元 associative algebra \(A\) に対し, それが quiver の path algebra のquotient として実現できるかどうかという問題も考えられる。 これについては, 有名な Gabriel の結果 [Gab73] がある。

• bound quiver
• ある条件をみたす有限次元代数は bound quiver \((Q,I)\) により \(kQ/I\) と表示できる

Path algebra の dualとして path coalgebra を Chin と Montgomery が [CM97] で定義している。Cibils と Rosso は [CR02] で path coalgebra が graded Hopf algebra の構造を持つための quiver に関する必要十分条件を求めている。

• quiver の path coalgebra
• Hopf quiver
• quiver Hopf algebra

Quiver からは, necklace Lie algebra というものも定義される。

• necklace Lie algebra [Gin01; BL02]

Ginzburg と Schedler の [GS06] は, その quiver からできる necklace Lie algebra の stable homology と necklace Lie algebra の quantization を調べたものである。

最近では, cluster algebra が有名である。Fomin [Fom10] によると, quiver からできるものに制限しても十分意味がある。

• cluster algebra

Leavitt algebra の quiver 版を Ara と Brustenga が [AB10] で定義している。Leavitt path algebra と呼ばれている。 Springer の Lecture Notes in Mathematics から [AAS17] が出ている。 Gene Abrams は, survey [Abr15] や AMS の Notices の “What is\(\ldots \)” [Abr16] も書いている。

• Leavitt path algebra

Sinha と Walter [SW11; Wal] は, quiver から operad や cooperad を作り, その上の algebra や coalgebra を考えている。

References

[AAS17]

Gene Abrams, Pere Ara, and Mercedes Siles Molina. Leavitt path algebras. Vol. 2191. Lecture Notes in Mathematics. Springer, London, 2017, pp. xiii+287. isbn: 978-1-4471-7343-4; 978-1-4471-7344-1.

[AB10]

Pere Ara and Miquel Brustenga. “Module theory over Leavitt path algebras and \(K\)-theory”. In: J. Pure Appl. Algebra 214.7 (2010), pp. 1131–1151. arXiv: 0905.3827. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.10.001.

[Abr15]

Gene Abrams. “Leavitt path algebras: the first decade”. In: Bull. Math. Sci. 5.1 (2015), pp. 59–120. url: https://doi.org/10.1007/s13373-014-0061-7.

[Abr16]

Gene Abrams. “What is \(\ldots \) a Leavitt path algebra?” In: Notices Amer. Math. Soc. 63.8 (2016), pp. 910–911. url: https://doi.org/10.1090/noti1414.

[BL02]

Raf Bocklandt and Lieven Le Bruyn. “Necklace Lie algebras and noncommutative symplectic geometry”. In: Math. Z. 240.1 (2002), pp. 141–167. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002090100366.

[Bon06]

Alexey Bondal. “Derived categories of toric varieties”. In: Convex and Algebraic geometry, Oberwolfach conference reports, EMS Publishing House. Vol. 3. 2006, pp. 284–286.

[CM97]

William Chin and Susan Montgomery. “Basic coalgebras”. In: Modular interfaces (Riverside, CA, 1995). Vol. 4. AMS/IP Stud. Adv. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, pp. 41–47.

[CR02]

Claude Cibils and Marc Rosso. “Hopf quivers”. In: J. Algebra 254.2 (2002), pp. 241–251. arXiv: math/0009106. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0021-8693(02)00080-7.

[FH]

David Favero and Jesse Huang. Homotopy Path Algebras. arXiv: 2205.03730.

[Fom10]

Sergey Fomin. “Total positivity and cluster algebras”. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume II. New Delhi: Hindustan Book Agency, 2010, pp. 125–145. arXiv: 1005.1086.

[Gab73]

Peter Gabriel. “Indecomposable representations. II”. In: Symposia Mathematica, Vol. XI (Convegno di Algebra Commutativa, INDAM, Rome, 1971). London: Academic Press, 1973, pp. 81–104.

[Gel+05]

Israel Gelfand, Vladimir Retakh, Shirlei Serconek, and Robert Lee Wilson. “On a class of algebras associated to directed graphs”. In: Selecta Math. (N.S.) 11.2 (2005), pp. 281–295. arXiv: math/0506507. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-005-0005-x.

[Gin01]

Victor Ginzburg. “Non-commutative symplectic geometry, quiver varieties, and operads”. In: Math. Res. Lett. 8.3 (2001), pp. 377–400.

[GS06]

Victor Ginzburg and Travis Schedler. “Moyal quantization and stable homology of necklace Lie algebras”. In: Mosc. Math. J. 6.3 (2006), pp. 431–459, 587. arXiv: math/0605704.

[GS83]

Murray Gerstenhaber and Samuel D. Schack. “Simplicial cohomology is Hochschild cohomology”. In: J. Pure Appl. Algebra 30.2 (1983), pp. 143–156. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(83)90051-8.

[HK01]

Ruth Stella Huerfano and Mikhail Khovanov. “A category for the adjoint representation”. In: J. Algebra 246.2 (2001), pp. 514–542. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.2001.8962.

[KS02]

Mikhail Khovanov and Paul Seidel. “Quivers, Floer cohomology, and braid group actions”. In: J. Amer. Math. Soc. 15.1 (2002), 203–271 (electronic). arXiv: math/0006056. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-01-00374-5.

[Rei97]

Idun Reiten. “Dynkin diagrams and the representation theory of algebras”. In: Notices Amer. Math. Soc. 44.5 (1997), pp. 546–556.

[SW11]

Dev Sinha and Benjamin Walter. “Lie coalgebras and rational homotopy theory, I: graph coalgebras”. In: Homology Homotopy Appl. 13 (2011), pp. 263–292. arXiv: math/0610437. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2011.v13.n2.a16.

[Wal]

Ben Walter. Lie algebra configuration pairing. arXiv: 1010.4732.