Elliptic (co)homology で検出できる現象

球面のホモトピー群の \(v_1\)-periodic な部分が本質的に \(\Ima J\) でわかるように, elliptic cohomology あるいは \(\mathrm {tmf}\) と呼ばれる cohomology theory を用いると, \(v_2\)-periodic な情報が分かる, はずである。

Behrens が色々考えていて, [Beh06] や [Beh07] で \(K(2)\)-local sphere や \(\Ima J\) の類似の \(\mathrm {tmf}\) を用いた記述を, [Beh09] では \(\Ima J\) と Bernoulli 数との関係の類似を考えている。また Laures は [Lau99] で Adams \(e\)-invariant の類似 (高次版) として \(f\)-invariant を定義している。

• \(f\)-invariant

それらの関係を考察したのが, 二人の共著の [BL09] である。Laures は [Lau11] では, Toda bracket との関係を調べている。

Bunke と Naumann の [BN10] は, \(f\)-invariant の Atiyah-Patodi-Singer [APS75] 流の解釈を目指したものである。von Bodecker の thesis [Bodb] もある。von Bodecker は [Boda] で積の \(f\)-invariant を調べている。

ホモトピー論的には, \(K(2)\)-local sphere spectrum \(L_{K(2)}S^0\) を考えるという方法もある。\(p=3\) のときの \(L_{K(2)}S^0\) の rational homotopy group を Goerss と Henn と Mahowald [GHM14] が決定している。

\(\mathrm {tmf}\) の構成はホモトピー論的であるが, 既にいくつかの応用が発見されている。例えば, 実射影空間のはめ込みの問題 [BDM02; DM] とか。

References

[APS75]

M. F. Atiyah, V. K. Patodi, and I. M. Singer. “Spectral asymmetry and Riemannian geometry. I”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 77 (1975), pp. 43–69. url: https://doi.org/10.1017/S0305004100049410.

[BDM02]

Robert R. Bruner, Donald M. Davis, and Mark Mahowald. “Nonimmersions of real projective spaces implied by \(tmf\)”. In: Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000). Vol. 293. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2002, pp. 45–68. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/293/04941.

[Beh06]

Mark Behrens. “A modular description of the \(K(2)\)-local sphere at the prime 3”. In: Topology 45.2 (2006), pp. 343–402. arXiv: math/ 0507184. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.top.2005.08.005.

[Beh07]

Mark Behrens. “Buildings, elliptic curves, and the \(K(2)\)-local sphere”. In: Amer. J. Math. 129.6 (2007), pp. 1513–1563. arXiv: math/0510026. url: http://dx.doi.org/10.1353/ajm.2007.0037.

[Beh09]

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[BL09]

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[BN10]

Ulrich Bunke and Niko Naumann. “The \(f\)-invariant and index theory”. In: Manuscripta Math. 132.3-4 (2010), pp. 365–397. arXiv: 0808. 0257. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00229-010-0351-7.

[Boda]

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[Bodb]

Hanno von Bodecker. On the geometry of the \(f\)-invariant. arXiv: 0808.0428.

[DM]

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[GHM14]

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[Lau11]

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[Lau99]

Gerd Laures. “The topological \(q\)-expansion principle”. In: Topology 38.2 (1999), pp. 387–425. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(98)00019-6.