初等整数論

代数的トポロジーでは, 調べる空間をある素数 \(p\) で局所化して考えることが多い。 整係数(コ)ホモロジーやホモトピー群などのように, 空間に対し代数的な不変量として, 有限生成 Abel 群を対応させることが多いからである。 有限生成 Abel 群の巡回群への分解に対応して, 各素数に対応する部分だけ取り出して調べようというアイデアである。

少し勉強すると, その際に, \(2\) や \(3\) などの小さな素数では例外的なことが起こることが分かる。 代数的トポロジーを勉強するためにも, 素数の性質を少しは知っていた方がいいだろう。 とりあえずは Serre の本[Ser73] の前半が簡潔にまとめてあってよい, と思う。

素数 \(2\) と \(3\) が特殊であるのはどうしてか, という疑問については, このMathOverflow での質問で議論されている。

球面のホモトピー群での \(J\) homomorphism の像の位数には, Bernoulli数が関係していたりする。 Bernoulli数は, もちろん, これ以外にも様々なところに登場する。例えば, Riemann の \(\zeta \)関数の偶数での値など。

• Bernoulli数

Bernoulli数と logarithm の関係を拡張し, polylogarithm に対応するものとして Kaneko [Kan97] により導入された poly-Bernoulli 数というものもある。

• poly-Bernoulli number

Brewbaker [Bre08] や Cameron ら [CGS] により, 組み合せ論的な解釈が得られている。

Bernoulli数と \(\mathrm{Im} J\) との関係を次の段階, つまり \(v_2\)-periodic な場合に一般化する試みとしては, Behrens による [Beh09] がある。 当然であるが, modular form を使わないといけない。

• modular form

Björner は, [Bjö11] で Mertens 関数が categorification できる, つまりその Euler標数が Mertens 関数になる simplicial complex があることを述べている。 更にその拡張となるCW複体も構成している。 これらの複体のホモトピー論的な研究から数論の結果が出ると面白いと思う。 また, 他の整数値関数を categorify する simplicial complex を作る, という問題も考えられる。

初等整数論と言えるかどうか分からないが, Sloan が始めた数列についてのデータベースがある。 今は, 専門の組織が管理しているようであるが。

• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

References

[Beh09]

Mark Behrens. “Congruences between modular forms given by the divided \(\beta \) family in homotopy theory”. In: Geom. Topol. 13.1 (2009), pp. 319–357. arXiv: 0804.0363. url: http://dx.doi.org/10.2140/gt.2009.13.319.

[Bjö11]

Anders Björner. “A cell complex in number theory”. In: Adv. in Appl. Math. 46.1-4 (2011), pp. 71–85. arXiv: 1101.5704. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aam.2010.09.007.

[Bre08]

Chad Brewbaker. “A combinatorial interpretation of the poly-Bernoulli numbers and two Fermat analogues”. In: Integers 8 (2008), A02, 9.

[CGS]

P. J. Cameron, C. A. Glass, and R. U. Schumacher. Acyclic orientations and poly-Bernoulli numbers. arXiv: 1412.3685.

[Kan97]

Masanobu Kaneko. “Poly-Bernoulli numbers”. In: J. Théor. Nombres Bordeaux 9.1 (1997), pp. 221–228. url: http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_1997__9_1_221_0.

[Ser73]

J.-P. Serre. A course in arithmetic. Translated from the French, Graduate Texts in Mathematics, No. 7. New York: Springer-Verlag, 1973, pp. viii+115.