各種compact性

位相空間のコンパクト性の概念の一般化や変種は, 様々なものが考えられている。よく目にするのは次の三つだろう。

• コンパクト (compact)
• 局所コンパクト (locally compact)
• パラコンパクト (paracompact)

局所コンパクト空間について詳しく調べたものとして, Taylor の [Tay06] がある。もちろん, たいていの位相空間論の教科書には基本的なことは書いてある。

基本的な性質としては以下のものが挙げられる。

• コンパクト空間の連続写像による像はコンパクト。
• 局所コンパクト空間の閉部分空間は局所コンパクト。
• 局所コンパクト Hausdorff 空間の開部分空間は局所コンパクト。
• より正確には, 局所コンパクト Hausdorff 空間の部分空間 \(A\) が局所コンパクトであるための必要十分条件は, 開集合 \(U\) と閉集合 \(F\) により, \(A=U\cap F\) と表わされること。
• コンパクト空間の任意個の直積はコンパクト。

4番目の, 局所コンパクト Hausdorff 空間の中の局所コンパクト部分空間の特徴付けは, 例えば Dugundi の本 [Dug78] の Chapter XI section 6 に書いてある。

パラコンパクトや局所コンパクトの条件と Hausdorff を組み合わせると, 可縮な空間による numerable な被覆を持つという, 良い性質を持った空間になる。 これらは, ファイバー束の理論などでも重要である。 Dold の [Dol63] を参照のこと。Schwamberger と Vogt [SV09] は, そのような空間の一般的な性質を調べている。

• コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続写像は, 閉写像である。 よってコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は, 同相写像である。
• Urysohn の補題
• \(1\)の分割 (partition of unity) の定義。
• パラコンパクト Hausdorff 空間は任意の開被覆に従属する\(1\)の分割を持つ。
• パラコンパクト Hausdorff 空間は正規 (normal) である。
• 特に, コンパクト Hausdorff 空間は正規である。
• 局所コンパクト Hausdorff 空間は正則 (regular) である。
• 局所コンパクト Hausdorff 空間の一点コンパクト化は Hausdorff である。

\(1\)の分割については, Dydak の [Dyd03] がある。

コンパクト Hausdorff 空間やその圏の特徴付けには, 実に様々なものがある。例えば, 可換な単位元を持つ \(C^{*}\)-algebra の圏の opposite category と同値になる, というのが Gel\('\)fand-Naimark duality である。他に目にしたものを挙げると次のようになる。

• de Groot の定理 [Wat68; FT70].
• Manes [Man69] による ultrafilter monad 上の algebra としての特徴付け
• Herrlich と Strecker による特徴付け [HS71; Ric96]
• Richter による特徴付け [Ric91]
• Marra と Reggio による特徴付け [MR20]

また, この MathOverflow の質問 では, compact Hausdorff space の圏の universal property による特徴付けがあるか, が聞かれているが, いくつかの興味深い回答が集っている。

コンパクト化には, 局所コンパクト空間の一点コンパクト化以外にも様々な方法がある。

• Stone-Čech compactification
• Higson compactification

References

[Dol63]

Albrecht Dold. “Partitions of unity in the theory of fibrations”. In: Ann. of Math. (2) 78 (1963), pp. 223–255. url: https://doi.org/10.2307/1970341.

[Dug78]

James Dugundji. Topology. Boston, Mass.: Allyn and Bacon Inc., 1978, p. xv 447. isbn: 0-205-00271-4.

[Dyd03]

Jerzy Dydak. “Partitions of unity”. In: Proceedings of the Spring Topology and Dynamical Systems Conference. Vol. 27. 1. 2003, pp. 125–171. arXiv: math/0210379.

[FT70]

Stanley P Franklin and Barbara Smith Thomas. A categorical characterization of CH. Report 70-33. Carnegie Institute of Technology, Department of Mathematics, 1970. url: http://shelf2.library.cmu.edu/Tech/42930824.pdf.

[HS71]

H. Herrlich and G. E. Strecker. “Algebra \(\bigcap \) topology=compactness”. In: General Topology and Appl. 1 (1971), pp. 283–287.

[Man69]

Ernest Manes. “A triple theoretic construction of compact algebras”. In: Sem. on Triples and Categorical Homology Theory (ETH, Zürich, 1966/67). Lecture Notes in Math., No. 80. Springer, Berlin-New York, 1969, pp. 91–118.

[MR20]

Vincenzo Marra and Luca Reggio. “A characterisation of the category of compact Hausdorff spaces”. In: Theory Appl. Categ. 35 (2020), Paper No. 51, 1871–1906. arXiv: 1808.09738.

[Ric91]

G. Richter. “Axiomatizing the category of compact Hausdorff spaces”. In: Category theory at work (Bremen, 1990). Vol. 18. Res. Exp. Math. Heldermann, Berlin, 1991, pp. 199–215.

[Ric96]

G. Richter. “An elementary approach to “algebra \(\cap \) topology \(=\) compactness””. In: Appl. Categ. Structures 4.4 (1996), pp. 443–446. url: https://doi.org/10.1007/BF00122689.

[SV09]

Eugenia Schwamberger and Rainer M. Vogt. “Dold spaces in homotopy theory”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.3 (2009), pp. 1585–1622. arXiv: 0810.5481. url: https://doi.org/10.2140/agt.2009.9.1585.

[Tay06]

Paul Taylor. “Computably based locally compact spaces”. In: Log. Methods Comput. Sci. 2.1 (2006), 1:1, 70. arXiv: math/0512110. url: https://doi.org/10.2168/LMCS-2(1:1)2006.

[Wat68]

E. Wattel. The compactness operator in set theory and topology. Vol. 21. Mathematical Centre Tracts. Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1968, pp. v+61.