Abstract Regular Polytope やその変種

正多面体の abstract 版として, abstract regular polytope がある。その変換群が, flag (maximal chain) の集合に transitive に作用する, ということで定義される。 まずは, McMullen と Schulte の本 [MS02] を読むべきだろう。あまり読み易くはないが。 McMullen による新しい本 [McM20] もある。

McMullen と Schulte の本では, abstract regular polytope が, 変換群が string C-group になる, ということで特徴付けられることが示されている。

• string C-group

Monson と Schulte は, 一連の研究 [MS04; MS07; MS08] で, crystallographic Coxeter group を mod \(p\) reduction してできる群を調べ, abstract regular polytope の変換群になっていることが多いことを確かめている。

他にも, 与えられた有限群が abstract regular polytope の変換群として表されるか, という問題は, 様々な人が考えている。 Nicolaides と Rowley の [NR] の Introduction で色々文献が挙げられている。

有限単純群, 特に sporadic group の場合は, Hartley と Hulpke の [HH10] で調べられている。それをもとに, Kelsey と Nicolaides と Rowley が, Higman-Sims group の場合を [KNR22] で, \(M_{24}\) の場合を [KNR] で調べている。

Nicolaides と Rowley は, その論文で unravelled abstract regular polytope という abstract regular polytope の class を導入している。

• unravelled abstract regular polytope

正多面体より少し広い多面体のクラスとして, 半正多面体があるが, その abstract 版もある。

• abstract semiregular polytope

Monson と Schulte の [MS12] では, Martini の [Mar94] が参照されている。 また, Pisanski, Schulte, Weiss の論文 [PSW12] によると, 凸多面体の場合と異なり, abstract semiregular polytope は, とても多くの種類があるようである。

他に abstract regular polytope に近いものとしては, 次のような abstract polytope の class がある。

• abstract uniform polytope
• abstract chiral polytope

References

[HH10]

Michael I. Hartley and Alexander Hulpke. “Polytopes derived from sporadic simple groups”. In: Contrib. Discrete Math. 5.2 (2010), pp. 106–118.

[KNR]

Veronica Kelsey, Robert Nicolaides, and Peter Rowley. A Note on the Rank \(5\) Polytopes of \(M_{24}\). arXiv: 2201.02128.

[KNR22]

Veronica Kelsey, Robert Nicolaides, and Peter Rowley. “On the rank 5 polytopes of the Higman–Sims simple group”. In: Innov. Incidence Geom. 19.4 (2022), pp. 153–164. url: https://doi.org/10.2140/iig.2022.19.153.

[Mar94]

Horst Martini. “A hierarchical classification of Euclidean polytopes with regularity properties”. In: Polytopes: abstract, convex and computational (Scarborough, ON, 1993). Vol. 440. NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1994, pp. 71–96.

[McM20]

Peter McMullen. Geometric Regular Polytopes. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, 2020.

[MS02]

Peter McMullen and Egon Schulte. Abstract regular polytopes. Vol. 92. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press, 2002, pp. xiv+551. isbn: 0-521-81496-0. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511546686.

[MS04]

B. Monson and Egon Schulte. “Reflection groups and polytopes over finite fields. I”. In: Adv. in Appl. Math. 33.2 (2004), pp. 290–317. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aam.2003.11.002.

[MS07]

B. Monson and Egon Schulte. “Reflection groups and polytopes over finite fields. II”. In: Adv. in Appl. Math. 38.3 (2007), pp. 327–356. arXiv: math/0601502. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2005.12.001.

[MS08]

B. Monson and Egon Schulte. “Reflection groups and polytopes over finite fields. III”. In: Adv. in Appl. Math. 41.1 (2008), pp. 76–94. arXiv: 0707.4007. url: https://doi.org/10.1016/j.aam.2007.07.001.

[MS12]

B. Monson and Egon Schulte. “Semiregular polytopes and amalgamated C-groups”. In: Adv. Math. 229.5 (2012), pp. 2767–2791. arXiv: 1109.1337. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2011.12.027.

[NR]

Robert Nicolaides and Peter Rowley. Unravelled Abstract Regular Polytopes. arXiv: 2105.01921.

[PSW12]

Tomaž Pisanski, Egon Schulte, and Asia Ivić Weiss. “On the size of equifacetted semi-regular polytopes”. In: Glas. Mat. Ser. III 47(67).2 (2012), pp. 421–430. arXiv: 1109 . 2280. url: https://doi.org/10.3336/gm.47.2.15.