Algebraic Models of Spaces

代数的トポロジーでは, ホモロジーなどの代数的不変量を用いて空間を研究する。 特異ホモロジーは, chain complex の (代数的な) ホモロジーを取ることで得られるので, chain complex の段階で考えれば, ホモロジーを取ることで失なわれる情報を得ることができる。 また, 位相空間は対角写像 \(\Delta :X\to X\times X\) で topological comonoid になるので, それに対応した情報も欲しい。 Sullivan [Sul77] は, cochain complex にして, dg algebra (differential graded algebra) の構造を考えることを提案した。 そして有理ホモトピー型を得るためなら, それで十分であることを示した。

• 有理ホモトピー論
• dg algebra
• Sullivan の モデル

同時期に, Quillen [Qui69] は, dg Lie algebra (differential graded Lie algebra) を用いたモデルを考えた。

• dg Lie algebra
• Quillen モデル

他にも様々なモデルが考えられている。 Sinha と Walter は [SW11]で, ある Lie cooperad を用いた Lie coalgebra model を提案している。そして [SW13] でホモトピー群の情報を得る方法を考えている。 Rational equivariant stable homotopy theory への応用を念頭においた Strickland の構成 [Str09] もある。また, Kadeishvili の [Kad09] では, 単連結な空間の ratioinal cohomology は \(C_{\infty }\)-algebra の構造を持ち, それが rational homotopy type を決めていることが示されている。よって \(C_{\infty }\)-algebra としての rational cohomology algebra を rational homotopy type のモデルと考えることもできる。Kadeishvili は, モデルの例として, Halperin と Stasheff [HS79] の filtered commutative dg algebra によるものも挙げている。

Blanc は, rational homotopy type が homotopy Lie algebra \(\pi _{*-1}(X)\) と その上の特定の higher homotopy operation の作用で決まることを [Bla04] で述べている。

他には, \(L_{\infty }\)-algebra を用いた mapping space のモデルを作っている人 [BG16] もいる。

Partial minimal model とか partial formality というものを考えている人 [Măc10] もいる。

ただし, これらは単連結の場合である。 基本群が自明でない場合への拡張も, いくつかの試みがある。 Gomez-Tato と Halperin と Tanré の [GHT00] や Moriya の [Mor10; Mor12] などである。Moriya のものは, dg category をモデルとして用いていて, Tabuada や Toën の仕事などとも関連していて興味深い。

連結ではない場合については, Lazarev と Markl が [LM15] で Sullivan-type と Quillen-type の2つのモデルを導入している。 Maunder [Mau] は, pseudo-compact curved Lie algebra を用いた unbased disconnected rational homotopy theory を構築している。

Urs Schreiber は \(n\)-Category Café での blog post で, Lie \(n\)-algebra (\(L_{\infty }\)-algebra) の integration という視点を紹介している。

このように, 有理ホモトピー型, つまり \(0\) で localize した場合については, 様々なモデルが提案されているが, 素数 \(p>0\) で localize した場合は, ずっと面倒である。その一つの理由は, 空間 \(X\) の topological coalgebra の 構造 \(\Delta :X\to X\times X\) を代数的に表すのが難しいからである。 古典的には, それが cohomology への Steenrod operation という形で現れることから, その面倒臭さが分かるだろう。 現代的には, Steenrod operation の作用は singular cochain の \(E_{\infty }\)-algebra の構造から得られるが, その視点から Mandell [Man01] が \(p\)-adic homotopy theory を展開している。

• Mandell’s \(p\)-adic homotopy theory

更に, singular chain complex を simplicial coalgebra とみなすと algebraic model として使えることを, Rivera, Wierstra, Zeinalian [RWZ22] が示している。

• simplicial coalgebra

\(E_{\infty }\)-algebra ではなく, \(E_{\infty }\)-coalgebra を用いることにより, Mandell とは双対的なアプローチを取ることで, 有限性の条件を外すことができることを, Backmann と Burklund [BB] が示している。

Integral model としては, Richter と Sagave のもの [RS20] や Allen Yuan によるもの [Yua23] がある。

References

[BB]

Tom Bachmann and Robert Burklund. \(\mathbb {E}_{\infty }\)-coalgebras and \(p\)-adic homotopy theory. arXiv: 2402.15850.

[BG16]

Urtzi Buijs and Javier J. Gutiérrez. “Homotopy transfer and rational models for mapping spaces”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 11 (2016), pp. 309–332. arXiv: 1210 . 4664. url: https://doi.org/10.1007/s40062-015-0107-x.

[Bla04]

David Blanc. “Homotopy operations and rational homotopy type”. In: Categorical decomposition techniques in algebraic topology (Isle of Skye, 2001). Vol. 215. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 2004, pp. 47–75. arXiv: math/0410075.

[GHT00]

Antonio Gómez-Tato, Stephen Halperin, and Daniel Tanré. “Rational homotopy theory for non-simply connected spaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 352.4 (2000), pp. 1493–1525. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-99-02463-0.

[HS79]

Stephen Halperin and James Stasheff. “Obstructions to homotopy equivalences”. In: Adv. in Math. 32.3 (1979), pp. 233–279. url: http://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(79)90043-4.

[Kad09]

Tornike Kadeishvili. “Cohomology \(C_{\infty }\)-algebra and rational homotopy type”. In: Algebraic topology—old and new. Vol. 85. Banach Center Publ. Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2009, pp. 225–240. arXiv: 0811.1655. url: http://dx.doi.org/10.4064/bc85-0-16.

[LM15]

Andrey Lazarev and Martin Markl. “Disconnected rational homotopy theory”. In: Adv. Math. 283 (2015), pp. 303–361. arXiv: 1305.1037. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2015.07.009.

[Măc10]

Anca Daniela Măcinic. “Cohomology rings and formality properties of nilpotent groups”. In: J. Pure Appl. Algebra 214 (2010), pp. 1818–1826. arXiv: 0801.4847. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.12.025.

[Man01]

Michael A. Mandell. “\(E_{\infty }\) algebras and \(p\)-adic homotopy theory”. In: Topology 40.1 (2001), pp. 43–94. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00053-1.

[Mau]

James Maunder. Unbased rational homotopy theory: a Lie algebra approach. arXiv: 1511.07669.

[Mor10]

Syunji Moriya. “Rational homotopy theory and differential graded category”. In: J. Pure Appl. Algebra 214 (2010), pp. 422–439. arXiv: 0810.0808. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.06.015.

[Mor12]

Syunji Moriya. “The de Rham homotopy theory and differential graded category”. In: Math. Z. 271 (2012), pp. 961–1010. arXiv: 0912.4844. url: https://doi.org/10.1007/s00209-011-0899-2.

[Qui69]

Daniel Quillen. “Rational homotopy theory”. In: Ann. of Math. (2) 90 (1969), pp. 205–295. url: https://doi.org/10.2307/1970725.

[RS20]

Birgit Richter and Steffen Sagave. “A strictly commutative model for the cochain algebra of a space”. In: Compos. Math. 156.8 (2020), pp. 1718–1743. arXiv: 1801 . 01060. url: https://doi.org/10.1112/s0010437x20007319.

[RWZ22]

Manuel Rivera, Felix Wierstra, and Mahmoud Zeinalian. “The simplicial coalgebra of chains determines homotopy types rationally and one prime at a time”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 375 (2022), pp. 3267–3303. arXiv: 2006.05362. url: https://doi.org/10.1090/tran/8579.

[Str09]

Neil P. Strickland. “Chains on suspension spectra”. In: Algebr. Geom. Topol. 9.3 (2009), pp. 1681–1725. arXiv: 0810.1747. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2009.9.1681.

[Sul77]

Dennis Sullivan. “Infinitesimal computations in topology”. In: Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 47 (1977), 269–331 (1978).

[SW11]

Dev Sinha and Benjamin Walter. “Lie coalgebras and rational homotopy theory, I: graph coalgebras”. In: Homology Homotopy Appl. 13 (2011), pp. 263–292. arXiv: math / 0610437. url: https://doi.org/10.4310/HHA.2011.v13.n2.a16.

[SW13]

Dev Sinha and Ben Walter. “Lie coalgebras and rational homotopy theory II: Hopf invariants”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 365 (2013), pp. 861–883. arXiv: 0809.5084. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2012-05654-6.

[Yua23]

Allen Yuan. “Integral models for spaces via the higher Frobenius”. In: J. Amer. Math. Soc. 36.1 (2023), pp. 107–175. arXiv: 1910.00999. url: https://doi.org/10.1090/jams/998.