ホモトピー的構造を持った代数の例

様々な代数的構造に対し, その “strong homotopy (sh)” 版が定義されている。代表は, Stasheff [Sta63] により導入された \(A_{\infty }\)-algebra である。Survey としては Bernhard Keller の [Kel06] がある。

• 各種\(A_{\infty }\)構造

Terilla, Tradler, Wilson [TTW] は, \(A_{\infty }\)-algebra の tensor algebra が homotopy Batalin-Vilkovisky algebra (\(BV_{\infty }\)-algebra) になることを示している。

Homotopy Gerstenhaber algebra と OCHA (open-closed homotopy algebra) を包括する構造を考えているのは, Dolgushev [Dol11] である。

• homotopy Batalin-Vilkovisky algebra
• homotopy Gerstenhaber algebra
• OCHA

Homotopy Batalin-Viklovisky algebra については, Drummond-Cole と Vallette の [DV13] を見るのがよいと思う。そこには, hypercommutative algebra [KM94; Get95] のsh版もある。

• homotopy hypercommutative algebra

Hypercommutative algebra とは, Getzler [Get95] が Dijkgraaf と Verlinde と Verlinde の [DVV91] に現れる構造に名付けたものである。 その構造を記述する operad は 種数 \(0\) の marked point 付き Riemann 面の moduli space の Deligne-Mumford compactification の homology から成る operad であることが知られている。

\(A_{\infty }\)-structure はホモトピー結合性を表すものであるが, ホモトピー可換性を表す operad として, まず \(E_{\infty }\)-operad を知っておくべきだろう。

• \(E_{\infty }\)-algebra
• \(E_{n}\)-algebra

\(E_{\infty }\)-structure や \(E_{n}\)-structure は, 位相空間の圏では, 多重ループ空間の理論で基本的である。 というより, operad の起源が多重ループ空間の理論なのであるが。

代数的な圏での \(E_{\infty }\)-structure は, まず cohomology operation や homology operation の理論で登場する。

Adams spectral sequence の存在 (収束) は, 高次のものも含めた全ての cohomology operation の作用は, その空間の \(p\)-complete homotopy type を決定することを意味するが, cohomology operation の構成を考えると, これは \(E_{\infty }\)-algebra の構造が \(p\)-complete homotopy type を決定するということである。 このことを正確に表したのが, Mandell [Man01] の結果である。

• Mandell’s \(p\)-adic homotopy theory

同様にホモトピー可換性を表すものとして, \(C_{\infty }\)-structure というものもある。

• \(C_{\infty }\)-algebra
• symplectic \(C_{\infty }\)-algebra

\(C_{\infty }\)-algebra は, 標数\(0\) での \(E_{\infty }\)-algebra の一種であるが, \(A_{\infty }\)-algebra の可換版と考えた方がよいだろう。 \(A_{\infty }\)-algebra のように, operad を使わずに記述できる。 \(E_{\infty }\)-operad は大量の torsion を含み, それが cohomology operation や homology operation の元になっているのだが, 標数 \(0\) で考えるとそれらが全て消えてくれるので, \(A_{\infty }\)-algebraのような記述ができるわけである。

Kadeishvili [Kad09] によると, 現代的な \(C_{\infty }\)-algebra の概念は Getzler と Jones [GJ] により導入されたが, 既に Smirnov の [Smi80] に現れていることが指摘されている。Kadeishivili の [Kad88] では, commutative \(A_{\infty }\)-algebra と呼ばれていたり, Markl の [Mar92] では balanced \(A_{\infty }\)-algebra と呼ばれていたりしてややこしい。 文献を読むときに注意が必要である。

Symplectic \(C_{\infty }\)-algebra の概念は, Kontsevich により [Kon94] で導入されたものに Lazarev (?) が命名したものである。 String topology とも関連が深い。Lazarev の [Laz] や Hamilton と Lazarev の [HL] など。

Lie algebra や可換環のsh版もよく使われる。

• \(L_{\infty }\)-algebra

String topology に関連したものとしては, Cieliebak と Fukaya と Latschev により [CFL] で導入された involutive Lie bialgebra の strong homotopy version がある。String topology と symplectic field theory と Lagrangian Floer theory の共通の algebraic framework として導入された。

Sheng と Liu の [SL13] によると, Leibniz algebra のsh版は, Ammar と Poncin の [AP10] で定義されたようである。 そこには, 詳しくは Uchino の [Uch11] も見るように書いてある。

• sh Leibniz algebra

References

[AP10]

Mourad Ammar and Norbert Poncin. “Coalgebraic approach to the Loday infinity category, stem differential for \(2n\)-ary graded and homotopy algebras”. In: Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 60.1 (2010), pp. 355–387. arXiv: 0809.4328. url: http://aif.cedram.org/item?id=AIF_2010__60_1_355_0.

[CFL]

Kai Cieliebak, Kenji Fukaya, and Janko Latschev. Homological algebra related to surfaces with boundary. arXiv: 1508.02741.

[Dol11]

Vasily Dolgushev. “Formality theorem for Hochschild cochains via transfer”. In: Lett. Math. Phys. 97.2 (2011), pp. 109–149. arXiv: 1007.2427. url: http://dx.doi.org/10.1007/s11005-011-0476-y.

[DV13]

Gabriel C. Drummond-Cole and Bruno Vallette. “The minimal model for the Batalin-Vilkovisky operad”. In: Selecta Math. (N.S.) 19.1 (2013), pp. 1–47. arXiv: 1105.2008. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-012-0098-y.

[DVV91]

Robbert Dijkgraaf, Herman Verlinde, and Erik Verlinde. “Topological strings in \(d<1\)”. In: Nuclear Phys. B 352.1 (1991), pp. 59–86. url: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(91)90129-L.

[Get95]

E. Getzler. “Operads and moduli spaces of genus \(0\) Riemann surfaces”. In: The moduli space of curves (Texel Island, 1994). Vol. 129. Progr. Math. Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1995, pp. 199–230. arXiv: alg-geom/9411004.

[GJ]

Ezra Getzler and J. D. S. Jones. Operads, homotopy algebra and iterated integrals for double loop spaces. arXiv: hep-th/9403055.

[HL]

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[Kad09]

Tornike Kadeishvili. “Cohomology \(C_{\infty }\)-algebra and rational homotopy type”. In: Algebraic topology—old and new. Vol. 85. Banach Center Publ. Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2009, pp. 225–240. arXiv: 0811.1655. url: http://dx.doi.org/10.4064/bc85-0-16.

[Kad88]

T. V. Kadeishvili. “The structure of the \(A(\infty )\)-algebra, and the Hochschild and Harrison cohomologies”. In: Trudy Tbiliss. Mat. Inst. Razmadze Akad. Nauk Gruzin. SSR 91 (1988), pp. 19–27. arXiv: math / 0210331.

[Kel06]

Bernhard Keller. “\(A\)-infinity algebras, modules and functor categories”. In: Trends in representation theory of algebras and related topics. Vol. 406. Contemp. Math. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2006, pp. 67–93. arXiv: math/0510508. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/406/07654.

[KM94]

M. Kontsevich and Yu. Manin. “Gromov-Witten classes, quantum cohomology, and enumerative geometry”. In: Comm. Math. Phys. 164.3 (1994), pp. 525–562. arXiv: hep - th / 9402147. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104270948.

[Kon94]

Maxim Kontsevich. “Feynman diagrams and low-dimensional topology”. In: First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992). Vol. 120. Progr. Math. Basel: Birkhäuser, 1994, pp. 97–121.

[Laz]

Andrey Lazarev. The Stasheff model of a simply-connected manifold and the string bracket. arXiv: math/0512596.

[Man01]

Michael A. Mandell. “\(E_{\infty }\) algebras and \(p\)-adic homotopy theory”. In: Topology 40.1 (2001), pp. 43–94. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(99)00053-1.

[Mar92]

Martin Markl. “A cohomology theory for \(A(m)\)-algebras and applications”. In: J. Pure Appl. Algebra 83.2 (1992), pp. 141–175. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(92)90160-H.

[SL13]

Yunhe Sheng and Zhangju Liu. “Leibniz 2-algebras and twisted Courant algebroids”. In: Comm. Algebra 41.5 (2013), pp. 1929–1953. arXiv: 1012.5515. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2011.608201.

[Smi80]

V. A. Smirnov. “Homology of fiber spaces”. In: Uspekhi Mat. Nauk 35.3(213) (1980). International Topology Conference (Moscow State Univ., Moscow, 1979), pp. 227–230.

[Sta63]

James Dillon Stasheff. “Homotopy associativity of \(H\)-spaces. I, II”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 275-292; ibid. 108 (1963), pp. 293–312. url: https://doi.org/10.1090/s0002-9947-1963-0158400-5.

[TTW]

John Terilla, Thomas Tradler, and Scott O. Wilson. Homotopy DG algebras induce homotopy BV algebras. arXiv: 1106.1856.

[Uch11]

K. Uchino. “Derived brackets and sh Leibniz algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 215.5 (2011), pp. 1102–1111. arXiv: 0902.0044. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.07.016.