Lie-Rinehart Algebra

Lie-Rinehart algebra は, その名前から分るように, Rinehart により [Rin63] で導入された Lie algebra にある構造を付加したものである。と思っていたが, Dokas の [Dok12] によると, 同じ構造が pseudo-algebre de Lie として Herz の [Her53a; Her53b] に現れているようである。

文献としては, Rinehart の原論文以外に Moerdijk と Mrčun の [MM10] や Huebschmann の [Hue90] がある。

例としては, Lie algebroid から構成されるもの [Che99] や, 多様体から構成されるもの [Bor11; Kap07] などがある。

Lie algebra と同様 universal enveloping algebra を持つ。既に, Rinehart の論文に登場している。文献としては, 上記のものの他に Xu の [Xu01], Huebschmann の [Hue] などがある。

• universal enveloping algebra of Lie-Rinehart algebra

Krähmer と Rovi [KR15] によると Lie-Rinehart algebra の universal enveloping algebra は left Hopf algebroid の構造をもつ。ただ, Hopf algebroid になるとは限らないようである。

似たような構造として, Leibniz pair がある。Flato, Gerstenhaber, Voronov により [FGV95] で導入された。 Lie-Rinehart algebra は Leibniz pair とみなすことができる。

• Leibniz pair

Pei, Sheng, Tang, Zhao [Pei+23] によると, Lie algop という名前で, Winter [Win05; Win07] により調べられているものも同じもののようである。

他に関連した構造として pre-Lie-Rinehart algebra もある。Fløystad, Manchon, Munthe-Kaas [FMM21] により導入された。

• pre-Lie-Rinehart algebra

References

[Bor11]

Dennis Borisov. “What is the higher-dimensional infinitesimal groupoid of a manifold?” In: J. Aust. Math. Soc. 90.2 (2011), pp. 155–170. arXiv: 0910.5525. url: http://dx.doi.org/10.1017/S1446788711001248.

[Che99]

Sophie Chemla. “A duality property for complex Lie algebroids”. In: Math. Z. 232.2 (1999), pp. 367–388. url: https://doi.org/10.1007/s002090050520.

[Dok12]

Ioannis Dokas. “Cohomology of restricted Lie-Rinehart algebras and the Brauer group”. In: Adv. Math. 231.5 (2012), pp. 2573–2592. arXiv: 1110.3007. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.08.003.

[FGV95]

M. Flato, M. Gerstenhaber, and A. A. Voronov. “Cohomology and deformation of Leibniz pairs”. In: Lett. Math. Phys. 34.1 (1995), pp. 77–90. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00739377.

[FMM21]

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[Her53a]

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[Her53b]

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[Hue]

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[Hue90]

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[KR15]

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[Pei+23]

Yufeng Pei, Yunhe Sheng, Rong Tang, and Kaiming Zhao. “Actions of monoidal categories and representations of Cartan type Lie algebras”. In: J. Inst. Math. Jussieu 22.5 (2023), pp. 2367–2402. arXiv: 1908.02549. url: https://doi.org/10.1017/S147474802200007X.

[Rin63]

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[Win07]

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[Xu01]

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