K理論による代数的構造の categorification

Categorification は decategorification の逆の操作であるが, その decategorification には様々な選択肢がある。もちろん, decategorification を決めても, その categorification は一意的ではないが。

Decategorification としては, small category から集合を作る操作を考えればよいわけであるが, その small category が exact category や triangulated category のように, “extension” のような概念を持つ場合, decategorification として, \(K\)理論の定義に使われる Grothendieck group を使うことができる。 更に, その small category が monoidal structure を持つ場合, 環構造の categorification を考えることができる。

このことを最初に思いついたのは誰かわからないが, Khovanov が色々考えている。Mazurchuk の categorification の lecture note [Maz] は, 主にこの種の categorification を扱ったものである。

この種の簡単な例としては, 多項式環の categorification が [Kho01] に書いてある。

• 多項式環の categorification, つまりその Grothendieck ring が\(1\)変数の多項式環になるような圏の構成 [Kho01; KS]

この多項式環の categorification や Crane と Yetter の fusion rule の例などから考えても, 環 (や semiring) の categorification とは, Grothendieck ring が元の環 (semiring) になるような exact category のことである, と言うのが Khovanov の立場である。

より一般的な環の categorification について考えているのは, Castillo と Diaz の [CD] である。 Symmetric monoidal structure \(\oplus \) と monoidal structure \(\otimes \) で分配法則をみたすものを持つ圏を考えている。 彼らの目的は Rota-Baxter ring の categorification として Rota-Baxter category を導入することであるが。

Khovanov らは, [KMS09] で生成元と関係式で表された環とその上の module に対し, Grothendieck group がそのデータを実現する Abelian category を見つけることを, Abelian categorification と呼んでいる。 環の生成元に対応する Abelian category 上の自己関手を見つけることも categorification に入っている。

Heisenberg algebra の categorification を考えているのは, やはり, Khovanov [Kho14] である。Morton と Vicary [MV18] は, それを groupoidification の視点から解釈しようとしている。

• Heisenberg algebra の categorification

曲面の Hilbert scheme のコホモロジーへの作用も含めた categorification を考えているのは, Cautis と Licata [CL12] である。その元になっているのは, [FT; SV13] などのようであるが。

作用を考えるということは, 表現を考えていることになる。その意味で, Rouquier [Rou] は, そのような categorification のことを algebra の \(2\)-representation theory と呼んでいる。Rouquier も 代数的構造の categorification を考えていて, [Rou] では Kac-Moody algebra を考えている。

• Kac-Moody algebra の universal enveloping algebra の categorification [Rou]
• 量子群やその表現の categorification [HK01; FKS06; KL09]

Beliakova と Cooper [BC18] によると, 有限体上では, これらに Steenrod algebra の module の category で enrichされた 構造が入るらしく, 興味深い。

Kontsevich は, [Kon09] の Appendix で, \(2\)つの object の間の Hom category が triangulated category になっているような \(2\)-category に対する decategorification を考えている。\(K_0\) を用いるのと higher algebraic \(K\)-theory を用いるのと \(2\) つの方法が考えられる。前者の例として, Meyer と Nest の Kasparov \(K\)-theory による \(C^*\)-algebra の triangulated category の構成 [MN10] が挙げられている。

後者の流れで triangulated derivator を構成しているのは, Tabuada [Tab08] であり, Cisinski と共に [CT12] でより詳しく調べている。

References

[BC18]

Anna Beliakova and Benjamin Cooper. “Steenrod structures on categorified quantum groups”. In: Fund. Math. 241.2 (2018), pp. 179–207. arXiv: 1304.7152. url: https://doi.org/10.4064/fm307-3-2017.

[CD]

Edmundo Castillo and Rafael Diaz. Rota-Baxter Categories. arXiv: 0706.1068.

[CL12]

Sabin Cautis and Anthony Licata. “Heisenberg categorification and Hilbert schemes”. In: Duke Math. J. 161.13 (2012), pp. 2469–2547. arXiv: 1009.5147. url: https://doi.org/10.1215/00127094-1812726.

[CT12]

Denis-Charles Cisinski and Gonçalo Tabuada. “Symmetric monoidal structure on non-commutative motives”. In: J. K-Theory 9.2 (2012), pp. 201–268. arXiv: 1001.0228. url: https://doi.org/10.1017/is011011005jkt169.

[FKS06]

Igor Frenkel, Mikhail Khovanov, and Catharina Stroppel. “A categorification of finite-dimensional irreducible representations of quantum \(\mathfrak {sl}_2\) and their tensor products”. In: Selecta Math. (N.S.) 12.3-4 (2006), pp. 379–431. arXiv: math/0511467. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-007-0031-y.

[FT]

Boris Feigin and Aleksander Tsymbaliuk. Heisenberg action in the equivariant K-theory of Hilbert schemes via Shuffle Algebra. arXiv: 0904.1679.

[HK01]

Ruth Stella Huerfano and Mikhail Khovanov. “A category for the adjoint representation”. In: J. Algebra 246.2 (2001), pp. 514–542. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.2001.8962.

[Kho01]

Mikhail Khovanov. “Nilcoxeter algebras categorify the Weyl algebra”. In: Comm. Algebra 29.11 (2001), pp. 5033–5052. arXiv: math/9906166. url: http://dx.doi.org/10.1081/AGB-100106800.

[Kho14]

Mikhail Khovanov. “Heisenberg algebra and a graphical calculus”. In: Fund. Math. 225.1 (2014), pp. 169–210. arXiv: 1009.3295. url: https://doi.org/10.4064/fm225-1-8.

[KL09]

Mikhail Khovanov and Aaron D. Lauda. “A diagrammatic approach to categorification of quantum groups. I”. In: Represent. Theory 13 (2009), pp. 309–347. arXiv: 0803.4121. url: http://dx.doi.org/10.1090/S1088-4165-09-00346-X.

[KMS09]

Mikhail Khovanov, Volodymyr Mazorchuk, and Catharina Stroppel. “A brief review of abelian categorifications”. In: Theory Appl. Categ. 22 (2009), No. 19, 479–508. arXiv: math/0702746.

[Kon09]

Maxim Kontsevich. “Notes on motives in finite characteristic”. In: Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. II. Vol. 270. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., 2009, pp. 213–247. arXiv: math/0702206. url: http://dx.doi.org/10.1007/978-0-8176-4747-6_7.

[KS]

Mikhail Khovanov and Radmila Sazdanovic. Categorification of the polynomial ring. arXiv: 1101.0293.

[Maz]

Volodymyr Mazorchuk. Lectures on algebraic categorification. arXiv: 1011.0144.

[MN10]

Ralf Meyer and Ryszard Nest. “Homological algebra in bivariant \(K\)-theory and other triangulated categories. I”. In: Triangulated categories. Vol. 375. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2010, pp. 236–289. arXiv: math/0702146.

[MV18]

Jeffrey C. Morton and Jamie Vicary. “The categorified Heisenberg algebra I: A combinatorial representation”. In: J. Pure Appl. Algebra 222.3 (2018), pp. 703–745. arXiv: 1207.2054. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2017.05.004.

[Rou]

Raphael Rouquier. 2-Kac-Moody algebras. arXiv: 0812.5023.

[SV13]

Olivier Schiffmann and Eric Vasserot. “The elliptic Hall algebra and the \(K\)-theory of the Hilbert scheme of \(\mathbb {A}^{2}\)”. In: Duke Math. J. 162.2 (2013), pp. 279–366. arXiv: 0905.2555. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-1961849.

[Tab08]

Gonçalo Tabuada. “Higher \(K\)-theory via universal invariants”. In: Duke Math. J. 145.1 (2008), pp. 121–206. arXiv: 0706.2420. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-2008-049.