Tree の成す Hopf algebra

Kreimer [Kre98] は quantum field theory の renormalization を考 えるために, rooted tree で生成された Hopf algebra を考えた。Connes と Moscovici の [CM98] もある。Connes と Kreimer の [CK98] では, その二つの間の関係が考察されている。

Tree から Hopf algebra を作るには, 他にも, いくつかの構成法があり, それらの間の関係については Hoffman の [Hof09] の Introduction で簡潔にまとめられている。Grossman と Larson の解説 [GL] もある。

• Connes-Kreimer Hopf algebra [Kre98; CK98] (Moerdijk の [Moe01] も参照のこと)
• Grossman と Larson の Hopf algebra [GL89] (Connes-Kreimer Hopf algebra の dual になっている)
• Connes と Moscovici の Hopf algebra [CM98]
• Loday-Ronco Hopf algebra [LR98] (Aguiar と Sottile の [AS06] も参照のこと)
• Munthe-Kaas と Wright の[MW08]
• Calaque, Ebrahimi-Fard, Mancho の [CEM11]
• Chatel と Pilaud の Cambrian Hopf algebra [CP]

他にも, Foissy が導入した Connes-Kreimer Hopf algebra の noncommutative analogue [Foi02a; Foi02b; Foi] があるが, これは Loday-Ronco Hopf algebra と同型であることが, Aguiar と Sottile の [AS06] で示されている。 独立に導入されたものであるが, Loday-Ronco Hopf algebra と呼ぶ人が多いようである。

これらの Hopf algebra は, quasisymmetric function の成す Hopf algebra とも関係がある。Hoffman の [Hof], Foissy と Unterberger の [FU13], Chapoton の [Cha] など。

関連した話題として Rota-Baxter algebra がある。

• Rota-Baxter algebra

References

[AS06]

Marcelo Aguiar and Frank Sottile. “Structure of the Loday-Ronco Hopf algebra of trees”. In: J. Algebra 295.2 (2006), pp. 473–511. arXiv: math/0409022.

[CEM11]

Damien Calaque, Kurusch Ebrahimi-Fard, and Dominique Manchon. “Two interacting Hopf algebras of trees: a Hopf-algebraic approach to composition and substitution of B-series”. In: Adv. in Appl. Math. 47.2 (2011), pp. 282–308. arXiv: 0806 . 2238. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aam.2009.08.003.

[Cha]

Frédéric Chapoton. Flows on rooted trees and the Narayana idempotents. arXiv: 1203.1780.

[CK98]

Alain Connes and Dirk Kreimer. “Hopf algebras, renormalization and noncommutative geometry”. In: Comm. Math. Phys. 199.1 (1998), pp. 203–242. arXiv: hep-th/9808042. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050499.

[CM98]

A. Connes and H. Moscovici. “Hopf algebras, cyclic cohomology and the transverse index theorem”. In: Comm. Math. Phys. 198.1 (1998), pp. 199–246. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002200050477.

[CP]

Grégory Chatel and Vincent Pilaud. Cambrian Hopf Algebras. arXiv: 1411.3704.

[Foi]

Loı̈c Foissy. Les algébres de Hopf des arbres enracinés decorés. arXiv: math/0105212.

[Foi02a]

L. Foissy. “Les algèbres de Hopf des arbres enracinés décorés. I”. In: Bull. Sci. Math. 126.3 (2002), pp. 193–239. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0007-4497(02)01108-9.

[Foi02b]

L. Foissy. “Les algèbres de Hopf des arbres enracinés décorés. II”. In: Bull. Sci. Math. 126.4 (2002), pp. 249–288. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0007-4497(02)01113-2.

[FU13]

Loı̈c Foissy and Jérémie Unterberger. “Ordered forests, permutations, and iterated integrals”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 4 (2013), pp. 846–885. arXiv: 1004.5208.

[GL]

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[GL89]

Robert Grossman and Richard G. Larson. “Hopf-algebraic structure of families of trees”. In: J. Algebra 126.1 (1989), pp. 184–210. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(89)90328-1.

[Hof]

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[Hof09]

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[Kre98]

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[LR98]

Jean-Louis Loday and Marı́a O. Ronco. “Hopf algebra of the planar binary trees”. In: Adv. Math. 139.2 (1998), pp. 293–309. url: http://dx.doi.org/10.1006/aima.1998.1759.

[Moe01]

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[MW08]

H. Z. Munthe-Kaas and W. M. Wright. “On the Hopf algebraic structure of Lie group integrators”. In: Found. Comput. Math. 8.2 (2008), pp. 227–257. arXiv: math/0603023. url: http://dx.doi.org/10.1007/s10208-006-0222-5.