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近代的な代数的トポロジーは, 1950年代の Serre や Eilenberg らの仕事から始まったと言えるが, その当時から,
代数的トポロジーでは, 無限次元の空間を有限次元の空間とそれほど区別せずに扱ってきた。
無限次元のLie 群の研究が本格的に始まったのは, 1980年代だと思うが, 当然それも代数的トポロジーの研究対象となる。
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ループ群 (loop group)
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Kac-Moody group
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Kac-Moody Lie algebra
- \(\mathrm {Diff}(M)\)
ループ群については, Pressley と Segal の本 [PS86] がある。あまり読み易くはないが。 Mitchell の論文 [Mit86] と
[Mit87] も見るとよい。
Kac-Moody group については, Kumar の本 [Kum02] がある。 Kac-Moody group
をホモトピー論的視点から調べたものとして, Kitchloo の [Kit09; Kit14] や, その学生の Foley の [Fol15]
がある。それによると, Kac-Moody group の 分類空間を最初に調べたのは, Kitchloo の thesis [Kit98]
のようである。
Kitchloo は, 例えば [Kit09; Kit14] で, 分類空間が compact Lie 群の分類空間の homotopy
colimit で表せることを示している。 そして, [Kit17] では, その Bousfield-Kan spectral sequence
を調べている。
無限次元のLie群を構造群とした fiber bundle を考えることもできる。 ループ群の場合は, R. Cohen と Stacey の
[CS04] という研究がある。
有限次元のLie群を閉部分群で割ることにより有用な空間が現われるように, Kac-Moody group
をその部分群で割ってできる空間も重要である。例えば, Kac-Moody group \(\mathcal {G}\) を parabolic subgroup \(\mathcal {P}\)
で割ってできる空間 \(\mathcal {G}/\mathcal {P}\) を Kac-Moody flag variety と呼ぶ。その equivariant cohomology は, [HHH05]
で調べられている。
Kac-Moody Lie algebra は, 有限次元の Lie algebra とその位数有限の自己同型写像から作ることができる。Kac
[Kac90] により発見された構成らしい。 その構成について調べているのが, Allison と Berman と Pianzola の [ABP02;
ABP04] である。彼等が [ABP02] で調べている extended affine Lie algebra は, Högh-Krohn と
Torresani [HT90] により quasi-simple Lie algebra として導入されたもののようである。Allison らにより
[All+97] で調べられている。
- extended affine Lie algebra
無限次元の位相群として, ホモトピー論的に構成されるものもある。例えば, Eilenberg-Mac Lane空間 などである。
有限次元Lie群の connective cover は, Eilenberg-Mac Lane 空間への写像の (何回かの) ホモトピーファイバーだから,
無限次元Lie群とみなせる場合もある。 例えば, 単連結単純Lie群 \(G\) の \(3\)-connective cover は, \(G\) の string group
と呼ばれるようである。
無限次元のLie群の表現は, もちろん有限次元の場合よりも難しい。 ループ群の場合はよく研究されている。ループ群の central
extension の表現から, Verlinde algebra というものが定義されるが, その積は, conformal field theory に由来する
fusion product というものである。
Bott periodicity からも分かるように, ループ群と Grassmann多様体 は, 関係が深い。Ginzburg は [Gin] で,
ループ群上の perverse sheaf の成す tensor category を考えている。
Verlinde algebra は, twisted \(K\)-theory として表わされる [Fre01; FHT08; FHT11]
ことが知られている。
もちろん Kac-Moody Lie algebra の表現も活発に研究されている。
- Bernstein-Gel\('\)fand-Gel\('\)fand (BGG) resolution
- Nakajima quiver variety [Nak94]
- Frenkel と Khovanov と Schiffmann [FKS05] によるホモロジー代数的な Nakajima quiver
variety の解釈
- Wakimoto module [Fre]
BGG resolution は, [BGG75] で導入されたものであるが, その後様々な一般化が考えられている。 Heckenberger と
Kolb の [HK07] と, そこにある参考文献を見るとよい。
関連した概念として, oper というものがある。
Beilinson と Drinfel\('\)d により導入された概念である。Edward Frenkel が中心となって活発に研究している。[Fre;
Fre05] などを見るとよい。
References
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[ABP02]
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