Simplicial Groups

Simplicial group とは, 群の圏での simplicial object のことである。 定義は単純であるが, 様々な用途がある。 まずは, 特異ホモロジーの定義でも登場する, simplicial Abelian group がある。

• simplicial Abelian group

Simplicial group は, 常に fibrant であるというのは基本的な性質である。

• simplicial group は, Kan complex

Simplicial group は, 具体的なホモトピー論の問題にも色々応用がある。 例えば, Berrick と Cohen と Wong と Wu の [Ber+06] など。 そこでは, crossed simplicial group も使われている。

• crossed simplicial group
• simplicial group の応用

James の reduced product による \(\Omega \Sigma X\) の構成には, simplicial version がある。Milnor の free simplicial group construction である。 Adams の Student’s Guide [Ada72] に収録されている。 その構成は, Carlsson [Car84] や Wu [Wu98] により拡張されている。

• Milnor の \(FK\) とその拡張

それの simplicial rack や simplicial quandle に対する類似を, Lawson と Szymik [LS] が考えている。

Milnor の free simplicial group construction は, 位相空間では \(\Omega \Sigma X\) に対応する構成であるが, 単なるループ空間 \(\Omega X\) に対応する構成もある。

• Kan’s loop group functor [Kan58]

その right adjoint は, simplicial group から simplicial set を作る構成であるが, それは 分類空間の構成に対応するものである。 Kan の loop group より前に Eilenberg と Mac Lane [EM53] により導入されたものであり, \(W\)-construction と呼ばれる。

• \(W\)-construction

群の一般化としては, groupoid も有名であるが, その simplicial 版は, あまり調べられていないようである。ホモトピー論を調べたものとして, Dwyer と Kan の [DK84] がある。そこでは, \(W\)-construction や loop group functor の一般化も定義されている。

• simplicial groupoid

References

[Ada72]

John Frank Adams. Algebraic topology—a student’s guide. London Mathematical Society Lecture Note Series, No. 4. Cambridge University Press, London-New York, 1972, pp. vi+300.

[Ber+06]

A. J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong, and J. Wu. “Configurations, braids, and homotopy groups”. In: J. Amer. Math. Soc. 19.2 (2006), pp. 265–326. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-05-00507-2.

[Car84]

Gunnar Carlsson. “A simplicial group construction for balanced products”. In: Topology 23.1 (1984), pp. 85–89. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(84)90027-2.

[DK84]

W. G. Dwyer and D. M. Kan. “Homotopy theory and simplicial groupoids”. In: Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 46.4 (1984), pp. 379–385.

[EM53]

Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane. “On the groups \(H(\Pi ,n)\). I”. In: Ann. of Math. (2) 58 (1953), pp. 55–106. url: https://doi.org/10.2307/1969820.

[Kan58]

Daniel M. Kan. “On homotopy theory and c.s.s. groups”. In: Ann. of Math. (2) 68 (1958), pp. 38–53.

[LS]

Tyler Lawson and Markus Szymik. The homotopy types of free racks and quandles. arXiv: 2106.01299.

[Wu98]

Jie Wu. “On fibrewise simplicial monoids and Milnor-Carlsson’s constructions”. In: Topology 37.5 (1998), pp. 1113–1134. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(97)00059-1.