Simplicial group や simplicial monoid の応用

空間の simplicial なモデルを考えると, ホモトピー論的構造を代数的構造に言い換えることができる。例えば, loop 空間の積を simplicial group の積の置き換えることができる。

• 任意の loop 空間に対し, それと弱ホモトピー同値な simplicial group が存在する。
• 任意の \(\mathcal{A}_{\infty }\)-space に対し, それと弱ホモトピー同値な simplicial monoid が存在する。
• 任意の Abel群 \(G\) に対し \(K(G,n)\) と弱ホモトピー同値な simplicial Abelian monoid が存在する。

これらの一般化が, Badzioch により [Bad02] で与えられている。

最近の simplicial group のホモトピー論での応用としては, 例えば, loop 空間のホモトピータイプとして simplicial group を選ぶことにより, 球面のホモトピー群の presentation を得た Wu の結果 [Wu01], そして braid 群と球面のホモトピー群の関係を確立した Berrick と Cohen と Wong と Wu の結果 [Ber+06] がある。

Mutlu と Porter は, [MP01] で Wu の結果と Carrasco と Cegarra の [CC91] の結果に注目し, Pfeiffer pairing というものを考えることにより, simplicial group の Moore complex を調べている。

純粋に群論的な問題にも使えるようである。Vasagh と Mirebrahimi と Mashayekhy の [VMM] など。

References

[Bad02]

Bernard Badzioch. “Algebraic theories in homotopy theory”. In: Ann. of Math. (2) 155.3 (2002), pp. 895–913. arXiv: math/0110101. url: http://dx.doi.org/10.2307/3062135.

[Ber+06]

A. J. Berrick, F. R. Cohen, Y. L. Wong, and J. Wu. “Configurations, braids, and homotopy groups”. In: J. Amer. Math. Soc. 19.2 (2006), pp. 265–326. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0894-0347-05-00507-2.

[CC91]

P. Carrasco and A. M. Cegarra. “Group-theoretic algebraic models for homotopy types”. In: J. Pure Appl. Algebra 75.3 (1991), pp. 195–235. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(91)90133-M.

[MP01]

A. Mutlu and T. Porter. “Iterated Peiffer pairings in the Moore complex of a simplicial group”. In: Appl. Categ. Structures 9.2 (2001), pp. 111–130. arXiv: math/9904038. url: http://dx.doi.org/10.1023/A:1008652420694.

[VMM]

Zohreh Vasagh, Hanieh Mirebrahimi, and Behrooz Mashayekhy. On Baer Invariants of Pairs of Groups. arXiv: 1106.1278.

[Wu01]

J. Wu. “Combinatorial descriptions of homotopy groups of certain spaces”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 130.3 (2001), pp. 489–513. url: http://dx.doi.org/10.1017/S030500410100487X.