Lie 2-groups and Lie 2-algebras

Lie 群や Lie algebra の higher version がある。

Lie \(2\)-group については, 可微分多様体の構造を考える前に, まず \(2\)-group の概念を理解する必要がある。

• \(2\)-group

Lie \(2\)-group を考える motivation の一つとして, Baez の [Bae] がある。 具体的な例としては, 例えば, string group がある。Nikolaus と Sachse と Wockel の [NSW] など。 Cirio と Martins [CM] は configuration space 上の Knizhnik-Zamolodchikov connection の categorification を考えるために, Lie \(2\)-group を用いている。

基本的なことについては, Baez と Lauda の [BL04] を見るとよい。

Lie \(2\)-algebra は, Baez と Crans の [BC04] で定義されているものがある。その定義のためには, \(2\)-vector space の概念が必要になるが, 彼等は vector space の category での internal category として定義した \(2\)-vector space を用いている。Roytenberg の [Roy07] もある。

• Lie \(2\)-algebra

例として, stack 上の vector fields の成す category がある。 これは, Berwick-Evans と Lerman [BL] による。

Baez と Crans は Lie \(2\)-algebra と \(L_{\infty }\)-structure の関係を発見した。その高次版が [KMP] にある。

• Lie \(2\)-algebra は \(2\)-term \(L_{\infty }\)-algebra

Lie \(2\)-group と Lie \(2\)-algebra の関係については, Wockel の [Woc] や Noohi の [Noo13] がある。

Lie bialgebra の higher version としてLie \(2\)-bialgebra を考えている人 [BSZ] もいる。Lie 群と Lie algebra の関係は Drinfel\('\)d [Dri83] により Poisson Lie 群と Lie bialgebra の関係に拡張されているそうなので, Lie \(2\)-bialgebra に対応する Lie 群の類似は, Poisson \(2\)-group と呼ばれるべきものである。これについては, Chen と Stiénon と Xu の [CSX13] がある。

References

[Bae]

John C. Baez. Higher Yang-Mills Theory. arXiv: hep-th/0206130.

[BC04]

John C. Baez and Alissa S. Crans. “Higher-dimensional algebra. VI. Lie \(2\)-algebras”. In: Theory Appl. Categ. 12 (2004), 492–538 (electronic). arXiv: math/0307263.

[BL]

Daniel Berwick-Evans and Eugene Lerman. Lie 2-algebras of vector fields. arXiv: 1609.03944.

[BL04]

John C. Baez and Aaron D. Lauda. “Higher-dimensional algebra. V. 2-groups”. In: Theory Appl. Categ. 12 (2004), pp. 423–491. arXiv: math/0307200.

[BSZ]

Chengming Bai, Yunhe Sheng, and Chenchang Zhu. Lie 2-bialgebras. arXiv: 1109.1344.

[CM]

Lucio S. Cirio and João Faria Martins. Categorifying the \(\mathfrak{sl}(2,\bbC )\) Knizhnik-Zamolodchikov Connection via an Infinitesimal 2-Yang-Baxter Operator in the String Lie-2-Algebra. arXiv: 1207.1132.

[CSX13]

Zhuo Chen, Mathieu Stiénon, and Ping Xu. “Poisson 2-groups”. In: J. Differential Geom. 94.2 (2013), pp. 209–240. arXiv: 1202.0079. url: http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1367438648.

[Dri83]

V. G. Drinfel\('\)d. “Hamiltonian structures on Lie groups, Lie bialgebras and the geometric meaning of classical Yang-Baxter equations”. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR 268.2 (1983), pp. 285–287.

[KMP]

David Khudaverdyan, Ashis Mandal, and Norbert Poncin. Higher categorified algebras versus bounded homotopy algebras. arXiv: 1007.5458.

[Noo13]

Behrang Noohi. “Integrating morphisms of Lie 2-algebras”. In: Compos. Math. 149.2 (2013), pp. 264–294. arXiv: 0910.1818. url: https://doi.org/10.1112/S0010437X1200067X.

[NSW]

Thomas Nikolaus, Christoph Sachse, and Christoph Wockel. A Smooth Model for the String Group. arXiv: 1104.4288.

[Roy07]

Dmitry Roytenberg. “On weak Lie 2-algebras”. In: XXVI Workshop on Geometrical Methods in Physics. Vol. 956. AIP Conf. Proc. Melville, NY: Amer. Inst. Phys., 2007, pp. 180–198. arXiv: 0712.3461.

[Woc]

Christoph Wockel. Categorified central extensions, étale Lie 2-groups and Lie’s Third Theorem for locally exponential Lie algebras. arXiv: 0812.1673.