単体的複体に対する各種操作

知られている単体的複体から新しい単体的複体を構成する方法は, もちろん, 古くからトポロジーの視点で考えられているものがいくつかある。

• 直積
• 重心細分
• join

Join の逆の操作として, abstract simplicial complex の頂点集合を二つに分け, 元の simplicial complex の制限により新たな simplicial complex を二つ作ることも使われる。例えば, Björner らの oriented matroid の本 [Bjö+99] では次の事実が述べられている。

• \(K\) を abstract simplicial complexとし, その頂点集合 \(V(K)\) の非自明な分割 \[ V(K) = A\amalg B \] により subcomplex を \[ \begin {split} K_A & = \set {\sigma \in K}{\sigma \subset A} \\ K_B & = \set {\sigma \in K}{\sigma \subset B} \end {split} \] で定義する。すると \(|K_A|\) は \(|K|\setminus |K_B|\) の strong deformation retract である。

これは, simplicial complex のホモトピー型を調べるときに結構有用である。

Ahmad と Welker [AW18] は partial barycentric subdivision という構成を導入している。

細分としては, edgewise subdivision と呼ばれているものもある。

• edgewise subdivision

小圏のレベルでは, Segal [Seg73]により導入されたものであるが, 単体的集合や単体的複体に対しては, 様々な人が独立に発見している。例えば, [Fre42; Gra89; GP95; EG00] など。

PL同相を考える場合には, stellar subdivision という操作が重要である。

• stellar subdivision
• 二つの simplicial complex が PL同相になるための必要十分条件は, stellar subdivision とその逆の操作を繰り返して移り合うことである。 (Alexander [Ale30])

Lutz と Nevo [LN16] では, この事実の証明は, Lickorish の [Lic99] が参照されている。

最近では, 他の組み合せ論的構造に対する操作から, 対応する simplicial complex の操作が定義されることが多い。

Kalai [Kal84; Kal86] は symmetric algebra と exterior algebra に基づいた algebraic shifting という操作を導入した。Kalai の [Kal02] をみるとよい。

グラフからは様々な単体的複体が構成されるので, グラフに対する操作に対応する単体的複体に対する操作を考えるのは, 自然なアイデアである。例えば, グラフの whiskering という操作に対応するものを考えているのは, Biermann と van Tuyl [BV13] である。Frohmader [Fro] も独立に同じ構成を発見したらしい。

toric topology に有用な単体的複体に対する操作として, Ustinovsky [Usta; Ustb] は doubling operatioin という操作を考えている。Matsumura と Moore [MM] は, connected sum と strong connected sum という操作を考えている。

References

[Ale30]

James W. Alexander. “The combinatorial theory of complexes”. In: Ann. of Math. (2) 31.2 (1930), pp. 292–320. url: http://dx.doi.org/10.2307/1968099.

[AW18]

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[Bjö+99]

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[BV13]

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[Lic99]

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[MM]

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[Seg73]

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[Usta]

Yury Ustinovsky. Doubling operation for polytopes and torus actions. arXiv: 0909.1050.

[Ustb]

Yury Ustinovsky. Toral rank conjecture for moment-angle complexes. arXiv: 0909.1053.