Quandle や rack などの self-distributive algebraic structure

Quandle や rack といった類いの「自己分配性」を持つ代数的構造は, 様々な分野で独立に再発見されてきたようである。 D. Joyce により [Joy82] で quandle という言葉が導入されたが, それとは独立に Matveev [Mat82] が distributive groupoid という言葉で考えている。 Quandle の条件を少し弱めた rack については, Brieskorn が [Bri88] で automorphic set という名前で考えたのが最初であると書いてある文献も多いが, Jackson の [Jac05] によると, 1959年に Conway と Wraith により最初に調べられているらしい。現在では, Fenn と Rourke [FR92] の導入した rack という言葉の方が一般的なようであるが。

更に, Kamada の [Kam02] によると, より古くは Takasaki により [Tak43] で考えられた kei がこの種の構造としては最初のようである。 少し条件を弱めた quasiquandle というものもある。Monoid に対する small category のような, quandle や rack の many-objectification である trunk というものもある。歴史的なことについては, Carter の survey [Car12] を見てみるとよい。 結び目への応用を主眼に置いたものであるが。

• kei
• quandle
• rack または automorphic set
• quasiquandle ([Nag])
• trunk

これらの構造は結び目の研究者により色々調べられてきたが, pointed Hopf algebra や Yang-Baxter equation など, それ以外の様々な分野に関係することがわかっている。

鍵となるのは, braid群との関係である。 Huebschmann は, [Hue12] で, braid群や crossed module も含めた「統一理論」ができないか, という問題提起を行なっているが, これは quandle や rack とbraid群との関係を知っている人なら, 一度は思ったことだろう。

結び目の研究者にとっては, 当然結び目の不変量との関係が重要で, quandle や rack に対しても多項式不変量が定義されている。

• quandle polynomial や rack polynomial [Nel08; Nel11; CN11]

可換環上の加群になっていて, antisymmetric bilinear form を持つものが, symplectic quandleと呼ばれ, [NN08] で調べられている。 2つの operation を持つ birack や biquandle というものなど, 他にも色々 variation が考えられている。

• symplectic quandle
• semiquandle [HN10]
• biquandleや birack
• symmetric quandle [Kam07; KO10]
• twisted quandle や twisted rack [Chu+17a]

Biquandle や birack も含め, 位数の小さなものを計算機で求めよう, という試み [BF] もある。 また各位数について同型類の個数の上限と下限を調べている人 [Bla13] もいる。

群の conjugation による自分自身への作用は, self-distributivity の代表的な例である。Self-distributivity だけを満たすものを, Scott Carter らは [Car+08] で shelf と呼んでいる。

• shelf

彼らは, self distributivity を monoidal category で考えることにより, shelf や rack の概念が一般化できることを示している。その例として coalgebra の圏の shelf のコホモロジーも考えている。

Shelf の一般化として, 演算が複数あるものも考えられていて, multishelf と呼ばれている。Przytycki と Sikora [PS14] は shelf や multishelf のホモロジーと rack や quandle のホモロジーを比較している。

• multishelf

Przytycki と Putyra [Prz11; PP13; PP16] は, 更に idempotency をみたす multispindle というものやそのホモロジーを考えている。

• multispindle

Quandleの定義の3つの式が結び目の Reidemeister move と対応しているように, 高次の結び目に対応する quandle の高次化があってもよさそうである。そのようなものの候補(?)として, Crans の thesis [Cra] に shelf の \(2\)次化が, 定義されている。 \(2\)-quandle という言葉は出てくるが, まだちゃんと定義されていないようである。 Math Overflowで質問してみたが, Carter の解答によるとやはり「考え中」のようである。

Lie群とLie algebra の関係を, Leibniz algebra に拡張したときに, Lie群に対応するものとして, rack かそれに類する構造を考えることが提案されている。 Kinyon の [Kin07] や Covez の [Cov13] などである。 まだ全ての Leibniz algebra に対応するものは見つかっていないようであるが。

他には, Laver [Lav95] により導入された Laver table という構造もある。例えば, Dehornoy と Lebed の [DL14] で調べられている。

• Laver table

各種代数的構造に対して, 複数の入力を持つ類似が考えられているが, quandle については Elhamdadi と Green [EGM16] により3つの入力を持つ類似が考えられている。

Singular knot theory に動機を持つものとして, singquandle というものが [Chu+17b] で導入された。

• singquandle

加法と乗法の二つの演算を持つものが環であるが, その積を self-distributivity をもつものにした, qualgebra や shalgeba といった構 造を, Scott Carter と Lebed と Yang [CLY19]が調べている。

• qualgebra
• shalgebra

Quandle や rack の category での simplicial object は Lawson と Szymik の [LS] で調べられている。

• simplicial quandle
• simplicial rack

Turaev [Tur] は, 複数の演算を持つ rack や quandle の一般化を定義し, multi-rack や multi-quandle と呼んでいる。

References

[BF]

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[Bri88]

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