Presheaves

位相空間 \(X\) 上の前層 (presheaf) とは, \(X\) の開集合の成す poset (を category とみなしたもの) \(\cO _{X}\) 上の contravariant functor のことである。それに貼り合せの条件を要求したものが 層である。

より一般に, Grothendieck topology が指定された category でも前層と層が定義できる。

前層の morphism は, natural transformation として定義されるので, 前層の category は, functor と natural transformation の成す category にすぎない。なので, Abelian category に値を持つ前層の category は Abelian category になる。そして, 層の圏も Abelian category になり, ホモロジー代数ができる。 そのため, 層は derived category などを用いて調べられてきた。

• derived category

Finite \(T_{0}\)-space と poset の対応の元で, finite \(T_{0}\)-space 上の層は underlying poset 上の前層と一対一に対応することが知られている。よってこの場合は, 前層, つまり contravariant functor で話が済んでしまう。

• poset 上の presheaf

逆に poset の category に値を持つ presheaf, すなわち poset の図式は, topological combinatorics でよく使われる。 Quillen の Theorem A の poset 版が有用だからである。他にも topos の研究で Hyland, Johnstone, Pitts [HJP80] により導入された tripos も poset の図式である。Frey によるホモトピー論的な考察 [Fre23] もある。

• diagram of posets
• poset limit
• tripos

小圏とみなすことのできる構造としては, poset と対照的なのは monoid であるが, monoid 上の presheaf とは, 単に monoid の表現のことである。

ホモトピー論を行なうためには, simplicial set に値を持つ presheaf, つまり simplicial presheaf を考えるのが一つの方法である。

• simplicial presheaf

References

[Fre23]

Jonas Frey. “Categories of partial equivalence relations as localizations”. In: J. Pure Appl. Algebra 227.8 (2023), Paper No. 107115, 25. arXiv: 1912.06726. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2022.107115.

[HJP80]

J. M. E. Hyland, P. T. Johnstone, and A. M. Pitts. “Tripos theory”. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 88.2 (1980), pp. 205–231. url: http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100057534.