Poset 上の presheaf

Finite poset は, Alexandroff topology により \(T_0\)空間, つまり finite space とみなすことができる。その finite space 上の 層は, 元の poset 上の presheaf と同じものである。

• finite \(T_0\)-space \(X\) 上の sheaf と \(X\) に対応する poset を small category とみなしたときの, その上の presheaf (つまり contravariant functor) は一対一に対応する。

この事実は, 誰が最初に発見したのだろうか。少なくとも Bacławski の [Bac75] には登場する。Poset 上の sheaf 自体は, Graves と Molnar の [GM73] に現れるが。

この視点から, Abel群の presheaf に値を持つ poset の Čech cohomology を調べたものとして, Husainov の [Hus] がある。

Poset を small category とみなしたとき, ベクトル空間の圏への関手をその poset の表現ということもある。Everitt と Turner [ET09] は colored poset と呼んでいる。

• colored poset あるいは poset の表現

表現, あるいは finite space 上の sheaf と思うと, derived category などを考えたくなるが, 実際に Ladkani が [Lad08; Lad] で調べている。その過程で algebraic \(K\)-theory と Möbius関数の関係などについても述べているが, それについては, 既に Laubenbacher の結果 [Lau93] がある。他にも, Brun と Römer らが [BBR07; BR08] で sheaf cohomology を調べている。

• Poset \(P\) の \(k\) 上のベクトル空間での表現の圏の bounded derived category を \(D^b(P;k)\) とすると \[ K_0(D^b(P;k)) \cong \mathrm {Map}(P,\Z ) \] であり, Euler form は Möbius関数に一致する。

Poset 上の presheaf は, 他にも様々な場面で現れる。Everitt と Turner の [ET09] に様々な例がある。彼ら自身の目的は Khovanv homology であるが。

• poset 上の presheaf のホモロジーとしての Khovanov homology

彼らは, [ET12]では colored poset の bundle を定義し, Leray-Serre 型の spectral sequence を構成している。

Poset 上の sheaf と Braden と MacPherson [BM01] の moment graph 上の sheaf とは, 何か関係があるのだろうか。 他にも 組み合せ論で層が使える場面は色々ありそうである。

• 組み合せ論での層

References

[Bac75]

Kenneth Bacławski. “Whitney numbers of geometric lattices”. In: Advances in Math. 16 (1975), pp. 125–138. url: https://doi.org/10.1016/0001-8708(75)90145-0.

[BBR07]

Morten Brun, Winfried Bruns, and Tim Römer. “Cohomology of partially ordered sets and local cohomology of section rings”. In: Adv. Math. 208.1 (2007), pp. 210–235. arXiv: math/0502517. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.02.005.

[BM01]

Tom Braden and Robert MacPherson. “From moment graphs to intersection cohomology”. In: Math. Ann. 321.3 (2001), pp. 533–551. arXiv: math/0008200. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002080100232.

[BR08]

Morten Brun and Tim Römer. “On algebras associated to partially ordered sets”. In: Math. Scand. 103.2 (2008), pp. 169–185. arXiv: math/0507372.

[ET09]

Brent Everitt and Paul Turner. “Homology of coloured posets: a generalisation of Khovanov’s cube construction”. In: J. Algebra 322.2 (2009), pp. 429–448. arXiv: 0711.0103. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.04.005.

[ET12]

Brent Everitt and Paul Turner. “Bundles of coloured posets and a Leray-Serre spectral sequence for Khovanov homology”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 364.6 (2012), pp. 3137–3158. arXiv: 0808.1686. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2012-05459-6.

[GM73]

William Graves and Suzanne Molnar. “Incidence algebras as algebras of endomorphisms”. In: Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), pp. 815–820. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1973-13332-4.

[Hus]

Ahmet A. Husainov. Cech cohomology of partially ordered sets. arXiv: 2310.05577.

[Lad]

Sefi Ladkani. Universal derived equivalences of posets. arXiv: 0705.0946.

[Lad08]

Sefi Ladkani. “On derived equivalences of categories of sheaves over finite posets”. In: J. Pure Appl. Algebra 212.2 (2008), pp. 435–451. arXiv: math/0610685. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.06.005.

[Lau93]

Reinhard C. Laubenbacher. “Algebraic \(K\)-theory of poset representations”. In: \(K\)-Theory 7.1 (1993), pp. 17–21. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF00962791.