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Semiring とは, 環の定義で加法に関する逆元の存在を仮定しないものである。 Abelian monoid の圏の monoid
object と思ってもよい。
Semiring があれば, その上のmoduleも考えられる。 Abuhlail [Abu14a; Abu14b] によると,
semimodules の理論は, 主に M. Takahashi [Tak79; Tak81; Tak82a; Tak82b; Tak82c; Tak85]
により基礎付けがされたようである。
参考になる文献としては, [CGQ], [Gła02], [Isé58] などがある。
例としては, 次のようなものがある。
Abuhlail [Abu14a; Abu] は, semiring 上の semimodule に対し, homological algebra
を展開しようとしている。 Projective semimodule については Macpherson [Mac] が, injective
semimodule については Abuhlail と Noegraha [AN] が調べている。
Abuhlail と Al-Sulaiman [AA15] は, bialgebra や Hopf algebra の類似として, bisemialgebra
や Hopf-semialgebra を導入し調べている。
Banagl [Ban15] は semiring や semimodule, そして Eilenberg [Eil74] により導入されたそれらの
complete 版を使って, topological field theory を定式化することを考えている。
References
-
[AA15]
-
Jawad Y. Abuhlail and Nabeela Al-Sulaiman. “Hopf semialgebras”.
In: Comm. Algebra 43.3 (2015), pp. 1241–1278. arXiv: 1304.6042.
url: https://doi.org/10.1080/00927872.2013.851205.
-
[Abu]
-
Jawad Abuhlail. Uniformly Flat Semimodules. arXiv: 1201.0591.
-
[Abu14a]
-
Jawad Y. Abuhlail. “Exact sequences of commutative monoids and
semimodules”. In: Homology
Homotopy Appl. 16.1 (2014), pp. 199–214. arXiv: 1111.0330. url:
https://doi.org/10.4310/HHA.2014.v16.n1.a12.
-
[Abu14b]
-
Jawad Y. Abuhlail. “Exact sequences of commutative monoids and
semimodules”.
In: Homology Homotopy Appl. 16.1 (2014), pp. 199–214. url:
https://doi.org/10.4310/HHA.2014.v16.n1.a12.
-
[Ald]
-
Marco Aldi. Arithmetical Semirings. arXiv: 1605.08640.
-
[AN]
-
Jawad Abuhlail and Rangga Ganzar Noegraha. Injective
Semimodules - Revisited. arXiv: 1904.07708.
-
[Ban15]
-
Markus Banagl. “Positive topological quantum field theories”. In:
Quantum Topol. 6.4 (2015), pp. 609–706. arXiv: 1303.4276. url:
https://doi.org/10.4171/QT/71.
-
[CGQ]
-
Guy Cohen, Stephane Gaubert, and Jean-Pierre Quadrat. Duality
and separation theorems in idempotent semimodules. arXiv:
math/0212294.
-
[DHN]
-
Maël
Denys, Márton Hablicsek, and Giacomo Negrisolo. Non-Noetherian
representation categories of generalized fields. arXiv: 2006.05157.
-
[Eil74]
-
Samuel Eilenberg. Automata, languages, and machines. Vol. A.
Pure and Applied Mathematics, Vol. 58. Academic Press [A
subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York,
1974, pp. xvi+451.
-
[Gła02]
-
Kazimierz Głazek. A guide to the literature on semirings and their
applications in mathematics and
information sciences. With complete bibliography. Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht, 2002, pp. viii+392. isbn: 1-4020-0717-5. url:
http://dx.doi.org/10.1007/978-94-015-9964-1.
-
[Isé58]
-
Kiyoshi Iséki. “On ideals in semiring”. In: Proc. Japan Acad. 34
(1958), pp. 507–509.
-
[Mac]
-
Andrew W. Macpherson. Projective modules over polyhedral
semirings. arXiv: 1507.07213.
-
[Par]
-
Brett Parker. Holomorphic curves in Exploded Torus Fibrations:
Compactness. arXiv: 0706.3917.
-
[Tak79]
-
Michihiro Takahashi. “A bordism category for the ordinary
homology theory”. In: Math. Sem. Notes Kobe Univ. 7.3 (1979),
pp. 547–572.
-
[Tak81]
-
Michihiro Takahashi. “On the bordism categories. II. Elementary
properties of semimodules”. In: Math. Sem. Notes Kobe Univ. 9.2
(1981), pp. 495–530.
-
[Tak82a]
-
Michihiro Takahashi. “Completeness and \(C\)-cocompleteness of the
category of semimodules”. In: Math. Sem. Notes Kobe Univ. 10.2
(1982), pp. 551–562.
-
[Tak82b]
-
Michihiro Takahashi. “Extensions of semimodules. I”. In: Math. Sem.
Notes Kobe Univ. 10.2 (1982), pp. 563–592.
-
[Tak82c]
-
Michihiro Takahashi. “On the bordism categories. III. Functors Hom
and \(\otimes \) for semimodules”. In: Math. Sem. Notes Kobe Univ. 10.1 (1982),
pp. 211–236.
-
[Tak85]
-
Michihiro Takahashi. “On semimodules. III. Cyclic semimodules”.
In: Kobe J. Math. 2.2 (1985), pp. 131–141.
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