Rack の(コ)ホモロジー

Rack のホモロジーとして, 最も基本的なのは, Fenn, Rourke, Sanderson [FRS07] による, rack の分類空間 (rack space) のホモロジーとしての定義だろうか。

• rack space

このアプローチなら, 一般(コ)ホモロジーも定義できる。

もちろん, singular (co)homology なら, chain complex を用いた代数的な記述が可能である。群の(コ)ホモロジーのときとの違いは, cubical chain を用いることである。

Self-distributive な代数的構造のホモロジー全般については, まず Przyticki の [Prz15] を見てみるとよい。

Quandle や rack の Betti数については, 様々な人が調べているが, Etingof と Graña の [EG03] で finite rack の場合には決定された。 それ以前は, [Car+] などで lower bound が与えられていただけだったが。

Etingof と Graña は, torsion についても調べている。その際に rack の structure group (enveloping group) が重要な役割を果たしている。

• rack \(X\) のstructure group (enveloping group) \(G_X\) と reduced structure group (inner automorphism group) \(G_X^0\)
• \(G_X\) の \(X\) への作用
• \(\dim H^i(X;\Q )=|X/G_X|^i\)
• \(H*(X;\Z )\) の torsion に現れる素数は \(|G_X^0|\) の約数のみ

Quandle を rack とみなして(コ)ホモロジーを考えることはできるが, やはり quandle の構造を反映させたものを考えた方がよい。 そのようなものとして, Carter, Jelsovsky, Kamada, Langford, Saito の [Car+03] がある。

• quandle の(コ)ホモロジー

Elhamdadi と Nelson [EN12] は, それを rank \(N\) の rack に拡張している。

他にも様々な変種や拡張がある。自明でない係数付きのものを考えるためには, rack 上の moduleを定義する必要がある。これについては, Etingof と Grana の [EG03], Andruskiewitsch と Grana の [AG03], そして Jackson の [Jac05; Jac] がある。

Niebrzydowski と Przytycki [NP] は, homology operation を考えている。

Rack や quandle の(コ)ホモロジーの応用としては, Hopf algebra と knot や link が主だろう。後者については, Fenn と Rourke の [FR92] や Nelson らの [Nel14; NW11] などがある。

別の方向としては, Leibniz algebra との関係がある。Covez の [Cova] など。 Covez [Covb] は, 群の Leibniz homology に関する Loday の予想との関連で, rack homology が coZinbiel algebra の構造を持つことを示している。

Lebed [Leb13] は, rack や Leibniz algebra を braided object とみなし, それらの homology を統一的に扱う方法を提案している。

References

[AG03]

Nicolás Andruskiewitsch and Matı́as Graña. “From racks to pointed Hopf algebras”. In: Adv. Math. 178.2 (2003), pp. 177–243. arXiv: math/0202084. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0001-8708(02)00071-3.

[Car+]

J. Scott Carter, Daniel Jelsovsky, Seiichi Kamada, and Masahico Saito. Quandle Homology Groups, Their Betti Numbers, and Virtual Knots. arXiv: math/9909161.

[Car+03]

J. Scott Carter, Daniel Jelsovsky, Seiichi Kamada, Laurel Langford, and Masahico Saito. “Quandle cohomology and state-sum invariants of knotted curves and surfaces”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 355.10 (2003), pp. 3947–3989. arXiv: math/9903135. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-03-03046-0.

[Cova]

Simon Covez. On the conjectural cohomology for groups. arXiv: 1202.2269.

[Covb]

Simon Covez. Rack homology and conjectural Leibniz homology. arXiv: 1402.1625.

[EG03]

P. Etingof and M. Graña. “On rack cohomology”. In: J. Pure Appl. Algebra 177.1 (2003), pp. 49–59. arXiv: math/0201290. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00159-7.

[EN12]

Mohamed Elhamdadi and Sam Nelson. “\(N\)-degeneracy in rack homology and link invariants”. In: Hiroshima Math. J. 42.1 (2012), pp. 127–142. arXiv: 1007.3550. url: http://projecteuclid.org/euclid.hmj/1333113010.

[FR92]

Roger Fenn and Colin Rourke. “Racks and links in codimension two”. In: J. Knot Theory Ramifications 1.4 (1992), pp. 343–406. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0218216592000203.

[FRS07]

Roger Fenn, Colin Rourke, and Brian Sanderson. “The rack space”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 359.2 (2007), pp. 701–740. arXiv: math/0304228. url: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-06-03912-2.

[Jac]

Nicholas Jackson. Rack and quandle homology. arXiv: math/0411055.

[Jac05]

Nicholas Jackson. “Extensions of racks and quandles”. In: Homology Homotopy Appl. 7.1 (2005), pp. 151–167. arXiv: math/0408040. url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839510.

[Leb13]

Victoria Lebed. “Homologies of algebraic structures via braidings and quantum shuffles”. In: J. Algebra 391 (2013), pp. 152–192. arXiv: 1204.3312. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2013.06.009.

[Nel14]

Sam Nelson. “Link invariants from finite racks”. In: Fund. Math. 225.1 (2014), pp. 243–258. arXiv: 0808.0029. url: https://doi.org/10.4064/fm225-1-11.

[NP]

Maciej Niebrzydowski and Jozef H. Przytycki. Homology operations on homology of quandles. arXiv: 0907.4732.

[NW11]

Sam Nelson and Ryan Wieghard. “Link invariants from finite Coxeter racks”. In: J. Knot Theory Ramifications 20.9 (2011), pp. 1247–1257. arXiv: 0808.1584. url: https://doi.org/10.1142/S0218216511009273.

[Prz15]

Józef H. Przytycki. “Knots and distributive homology: from arc colorings to Yang-Baxter homology”. In: New ideas in low dimensional topology. Vol. 56. Ser. Knots Everything. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2015, pp. 413–488. arXiv: 1409.7044. url: http://dx.doi.org/10.1142/9789814630627_0011.