関手の微積分ができるための条件

関手 \[ F : \bm{C} \longrightarrow \bm{D} \] に対し calculus を行なうためには, 最低限以下のような条件が必要になる。

• \(\bm{C}\) は cofibration と weak equivalence の概念を持つ。
• \(\bm{C}\) は colimit で閉じている。
• \(\bm{C}\) は homotopy colimit を持つ。
• \(\bm{D}\) は fibration と weak equivalence の概念を持つ。
• \(\bm{D}\) は limit で閉じている。
• \(\bm{D}\) は homotopy limit を持つ。

大雑把に言えば, homotopy (co)limit を持つ model category であれば大丈夫であるが, 定義域では fibrationは 必要ない。Waldhausen が [Wal85]で考えた, category with cofibrations and weak equivalences, いわゆる Waldhausen category でよい。 値域は category with fibrations and weak equivalences でよさそうである。もちろん, homotopy (co)limit は必要であるが。

Model category でなら, homotopy (co)limit が存在するための条件は, 何人かが考察している。実際に, 一般の model category で Goodwillie calculus を行なうために何が必要かを考えたものとしては, Kuhn [Kuh07] や Stanculescu [Sta] のものがある。 Bidermann と Röndigs の [BR] は, Goodwillie tower の構成を homotopy category ではなく model category で行なったものであり, model category の枠組みで関手の微積分を扱ったものとしては, 現在最も一般的なものだろう。Derivative については Barnes と Eldred の [BE] で考 えられている。他には, Pereira の [Per]もある。Goodwillie による linear functor の特徴付けの一般化については, Chorny が [Cho] で考えている。

• model category を用いた関手の微積分

\(\bm{C}\) としては, 位相空間の圏, 有限次元ベクトル空間の圏, 多様体 \(M\) の open subset の圏などが考えられている。

\(\bm{D}\) としては, 位相空間の圏, spectrum の圏などを考えるのが普通である。Johnson と McCarthy は, [JM04]でAbelian category の chain complex に値を持つ場合について, cotriple を用いた構成を与えている。 その一般化が, Bauer と共に [BJM15] で得られている。そこで使われているのは, simplicial model category である。

Goodwillie も書いていることであるが, 「関手の微積分を行なう場」としては, ある model category から別の model category への関手全体の成す圏が候補である。しかしそのような圏は大きすぎて, 集合論的な困難を伴う。それを克服するためには, 考える関手を限定すべきである。 この視点から, 関手の微積分の圏論的なそして model category 的な基礎付けを考えたのが, Biedermann と Chorny と Röndigs の [BCR07] そしてその続編の [BR] である。

Model category の概念に基づく関手の微積分への approach は, 他にもいくつかの試みがある。 Lurie の [Lur] や Pereira の [Per] など。

Orthogonal calculus については, Barnes と Oman の [BO13] がある。

References

[BCR07]

Georg Biedermann, Boris Chorny, and Oliver Röndigs. “Calculus of functors and model categories”. In: Adv. Math. 214.1 (2007), pp. 92–115. arXiv: math/0601221. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.10.009.

[BE]

David Barnes and Rosona Eldred. Capturing Goodwillie’s Derivative. arXiv: 1406.0424.

[BJM15]

Kristine Bauer, Brenda Johnson, and Randy McCarthy. “Cross effects and calculus in an unbased setting”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 367.9 (2015), pp. 6671–6718. arXiv: 1101.1025. url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-2014-06447-7.

[BO13]

David Barnes and Peter Oman. “Model categories for orthogonal calculus”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.2 (2013), pp. 959–999. arXiv: 1101.4099. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2013.13.959.

[BR]

Georg Biedermann and Oliver Röndigs. Calculus of functors and model categories II. arXiv: 1305.2834.

[Cho]

Boris Chorny. A classification of small linear functors. arXiv: 1409.8525.

[JM04]

B. Johnson and R. McCarthy. “Deriving calculus with cotriples”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 356.2 (2004), 757–803 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9947-03-03318-X.

[Kuh07]

Nicholas J. Kuhn. “Goodwillie towers and chromatic homotopy: an overview”. In: Proceedings of the Nishida Fest (Kinosaki 2003). Vol. 10. Geom. Topol. Monogr. Geom. Topol. Publ., Coventry, 2007, pp. 245–279. arXiv: math/0410342. url: http://dx.doi.org/10.2140/gtm.2007.10.245.

[Lur]

Jacob Lurie. \((\infty ,2)\)-Categories and the Goodwillie Calculus I. arXiv: 0905.0462.

[Per]

Luis Pereira. A general context for Goodwillie Calculus. arXiv: 1301.2832.

[Sta]

Alexandru E. Stanculescu. On calculus of functors in model categories. arXiv: 1208.1919.

[Wal85]

Friedhelm Waldhausen. “Algebraic \(K\)-theory of spaces”. In: Algebraic and geometric topology (New Brunswick, N.J., 1983). Vol. 1126. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1985, pp. 318–419. url: http://dx.doi.org/10.1007/BFb0074449.