Lie群に関連した空間

Lie群に関連した空間として, 対称空間は非常に重要なものである。 より一般に, Lie群を閉部分群で割った空間として, 様々な重要な空間が定義される。

• 対称空間 (symmetric space)
• 等質空間 (homogeneous space)

コンパクト対称空間については, Huang と Leung [HL11] により normed division algebra を用いたある種の Grassmannian としての統一的な記述が発見された。

等質空間として表わされる空間で重要なものには次のものがある:

• 球面, より一般に Stiefel 多様体
• 射影空間, より一般に Grassmann 多様体
• flag 多様体

ホモトピー論の視点からは, Lie群に関連した空間としてすぐ思い浮ぶのは, 分類空間である。Lie群の分類空間は, 特性類などとの関連で重要である。

• 分類空間

Lie群の中の commuting elements の組の成す空間, より一般に離散群からの準同形の成す空間も様々な場面に現われる。

• 離散群からLie群への準同形 (表現) の成す空間

Lusztig [Lus94; Lus98b; Lus98a] は, 行列の total positivity (non-negativity) を一般化し, reductive group \(G\) に対し, その totally nonnegative part \(G_{\ge }\) と flag 多様体の totally nonnegative part \(B_{\ge }\) を定義した。

• Lusztig の totally nonnegative part

Lie群や関連した空間の compactification にはいくつかの方法がある。 De Concini と Procesi の“wonderful compactification” [DP83] の解説として, Evens と Jones の [EJ] がある。

Lie群の一般化としては, Lie groupoid がある。 これも現代的な微分幾何でよく使われる。

• Lie groupoid, より一般に topological groupoid

近年, ホモトピー論では, \(O(n)\), \(\mathrm {SO}(n)\), \(\mathrm {Spin}(n)\) の次として \(\mathrm {String}(n)\) という‘群”が登場することが多くなった。 \(\mathrm {Spin}(n)\) の \(3\)次元ホモトピー群を消した空間である。 より一般に単連結単純Lie群 \(G\) の\(\pi _3\) を消したものを \(G\) の string group と呼ぶようである。Lie群ではないが, 結構重要である。

• string group

ホモトピー論だけでなく, 様々な分野に関係がある。

References

[DP83]

C. De Concini and C. Procesi. “Complete symmetric varieties”. In: Invariant theory (Montecatini, 1982). Vol. 996. Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 1983, pp. 1–44.

[EJ]

Sam Evens and Benjamin F Jones. On the wonderful compactification. arXiv: 0801.0456.

[HL11]

Yongdong Huang and Naichung Conan Leung. “A uniform description of compact symmetric spaces as Grassmannians using the magic square”. In: Math. Ann. 350.1 (2011), pp. 79–106. url: https://doi.org/10.1007/s00208-010-0549-8.

[Lus94]

G. Lusztig. “Total positivity in reductive groups”. In: Lie theory and geometry. Vol. 123. Progr. Math. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1994, pp. 531–568.

[Lus98a]

G. Lusztig. “Total positivity in partial flag manifolds”. In: Represent. Theory 2 (1998), 70–78 (electronic). url: http://dx.doi.org/10.1090/S1088-4165-98-00046-6.

[Lus98b]

George Lusztig. “Introduction to total positivity”. In: Positivity in Lie theory: open problems. Vol. 26. De Gruyter Exp. Math. de Gruyter, Berlin, 1998, pp. 133–145.