球面

球面 (sphere) は, 代数的トポロジーにおいて, 最も基本的な空間の構成要素の一つである。それは, CW 複体が球面からの写像による mapping cone を繰り返し取ることにより得られるからである。よって, CW複体のホモトピー型については, ホモトピー群が最も本質的な情報を持っている。 古くから球面のホモトピー群が中心的研究対象になっているのはそのためである。

• 球面のホモトピー群

球面のホモトピー群は, そのほとんどが有限アーベル群であるので, 素数 \(p\) を固定し, \(p\)成分のみ取り出して考えることができる。 それを空間レベルで行うことを目的に開発されたのが, 空間の局所化の理論である。 まず, CW複体 \(X\) の素数 \(p\) での局所化 \(X_{(p)}\) が70年代に構成された。 球面について, まずは次を知っているべきだろう。

• \(p\) を奇素数としたとき, \[ (\Omega S^{2n})_{(p)} \simeq S^{2n-1}_{(p)}\times \Omega S^{4n-1}_{(p)}. \]

その後, Bousfield により, 一般ホモロジー論 (spectrum) に対する局所化が導入されたが, chromatic homotopy theory の視点からは, Morava \(K\)-theory \(K(n)\) や Johnson-Wilson theory \(E(n)\) に関する球面スペクトラムの局所化 \(L_{K(n)}S\), \(K_{E(n)}S\) が重要である。

\(L_{K(1)S}\) のホモトピー群は, Ravenelの[Rav84] で決定された。

球面スペクトラムを構成するのは, 球面そのものやそのループ空間であるが, それらの \(K\)-theory localization は MahowaldとThompson [MT92], そして Langsetmo [Lan93] により調べられている。

• \(K\)-theory に関する局所化

\(L_{K(2)}S\) については, 近年盛んに調べられている。例えば, Goerss, Henn, Mahowald, Rezk [Goe+05] は \(p=3\) の場合の homotopy limit による分解を得ている。Goerss と Henn [GH] は, Brown-Comenetz dual を調べている。

球面スペクトラムから \(K\)-theory に関係した部分を取り出す方法として, より古くから知られているのは, \(J\) homomorphism を用いて, (空間レベルで) \(\mathrm{Im} J\) と \(\mathrm{Coker} J\) に分解する方法である。これは, Adams予想の解決により得られた。

References

[GH]

Paul G. Goerss and Hans-Werner Henn. The Brown-Comenetz dual of the \(K(2)\)-local sphere at the prime \(3\). arXiv: 1212.2836.

[Goe+05]

P. Goerss, H.-W. Henn, M. Mahowald, and C. Rezk. “A resolution of the \(K(2)\)-local sphere at the prime 3”. In: Ann. of Math. (2) 162.2 (2005), pp. 777–822. arXiv: 0706.2175. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2005.162.777.

[Lan93]

Lisa Langsetmo. “The \(K\)-theory localization of loops on an odd sphere and applications”. In: Topology 32.3 (1993), pp. 577–585. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(93)90009-K.

[MT92]

Mark Mahowald and Robert D. Thompson. “The \(K\)-theory localization of an unstable sphere”. In: Topology 31.1 (1992), pp. 133–141. url: http://dx.doi.org/10.1016/0040-9383(92)90066-Q.

[Rav84]

Douglas C. Ravenel. “Localization with respect to certain periodic homology theories”. In: Amer. J. Math. 106.2 (1984), pp. 351–414. url: http://dx.doi.org/10.2307/2374308.