Algebraic Supergroups

代数的な構造を \(\Z _2\)-graded にすると super 版ができる。この super という用語 (接頭辞?) は 物理に起源を持つのだろうが, とても使いづらい。例えば, algebraic group のように2つ以上の単語からなる概念の super 版はどう言えばよいだろうか? Caston と Fioresi による supersymmetry の 数学的な解説 [CF; CCF11] では, algebraic supergroup や supergroup scheme と呼ばれているので, ここでもそれに従うことにしよう。これだと supergroup という概念があり, その代数多様体版や scheme 版のような印象を受けるが。可換環を \(\Z _2\)-graded commutative algebra に変えた superscheme や supermanifold があり, その圏での group object なので superalgebraic group という呼び方をしても不自然ではないと思う。

Caston と Fioresi は functor of points の視点から, \(\Z _2\)-graded commutative algebra の category 上の群の圏に値を持つ functor を用いて supergroup scheme を定義している。

• functor of points としての supergroup scheme

例としては, Fioresi と Gavanini の構成した Chevalley 群の super 版 [FG12; FG11] がある。

• Chevalley supergroup

Masuoka と Shibata [MS17] は, Harish-Chandra pair というデータから PID 上の algebraic supergroup を構成する方法について述べている。

References

[CCF11]

Claudio Carmeli, Lauren Caston, and Rita Fioresi. Mathematical foundations of supersymmetry. EMS Series of Lectures in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2011, pp. xiv+287. isbn: 978-3-03719-097-5. url: https://doi.org/10.4171/097.

[CF]

L. Caston and R. Fioresi. Mathematical Foundations of Supersymmetry. arXiv: 0710.5742.

[FG11]

R. Fioresi and F. Gavarini. “On the construction of Chevalley supergroups”. In: Supersymmetry in mathematics and physics. Vol. 2027. Lecture Notes in Math. Springer, Heidelberg, 2011, pp. 101–123. arXiv: 1008. 1838. url: https://doi.org/10.1007/978-3-642-21744-9_5.

[FG12]

R. Fioresi and F. Gavarini. “Chevalley supergroups”. In: Mem. Amer. Math. Soc. 215.1014 (2012), pp. vi+64. arXiv: 0808.0785. url: https://doi.org/10.1090/S0065-9266-2011-00633-7.

[MS17]

Akira Masuoka and Taiki Shibata. “Algebraic supergroups and Harish-Chandra pairs over a commutative ring”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 369.5 (2017), pp. 3443–3481. arXiv: 1304.0531. url: https://doi.org/10.1090/tran/6751.