有理ホモトピー論の応用

Sullivan の有理ホモトピー型のモデルは, 微分形式に基づいているので, 多様体に使うのに便利である。実際, Sullivan は, 既に70年代に Deligne と Griffiths と Morgan と共に [Del+75] で compact Kähler 多様体が formal であるという結果を証明している。

最近では, Amoras と Biswas [AB10] が, 単連結で elliptic (rational homotopy 群の意味で) な \(3\)次元以下の compact Kähler 多様体を分類している。

多様体の有理ホモトピー論的モデルとしては, Poincaré duality をみたす commutative dg algebra を考えるのが自然である。 Lambrechts と Stanley は, [LS08] で, コホモロジーが Poincaré duality algebra になる commutative dg algebra には, quasi-isomorphic な Poincaré duality dg algebra が存在することを示している。 応用として, 多様体の configuration space のホモロジーや string topology が考えられているようである。

Hinich と Schechtman [HS] は, 代数幾何における deformation の問題を考えるために, scheme 上の Lie algebra の sheaf の Čech cochain に対するモデルとして, Thom-Sullivan construction というdifferential graded Lie algebra を構成している。

Kontsevich と Soibelman は, [KS00] の appendix で little disk operad の formality を証明するために semialgebraic set の real homotopy theory を展開している。 Hardt らの [Har+11] は, その詳細を埋めるものである。

組み合せ論への応用として, 例えば, Lechuga と Murillo の [LM00; LM01] がある。 グラフの彩色問題へ応用している。 その simplicial complex 版を Médez が [Mén] で考えている。

References

[AB10]

Jaume Amorós and Indranil Biswas. “Compact Kähler manifolds with elliptic homotopy type”. In: Adv. Math. 224.3 (2010), pp. 1167–1182. arXiv: 0901.3211. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.01.008.

[Del+75]

Pierre Deligne, Phillip Griffiths, John Morgan, and Dennis Sullivan. “Real homotopy theory of Kähler manifolds”. In: Invent. Math. 29.3 (1975), pp. 245–274. url: https://doi.org/10.1007/BF01389853.

[Har+11]

Robert Hardt, Pascal Lambrechts, Victor Turchin, and Ismar Volić. “Real homotopy theory of semi-algebraic sets”. In: Algebr. Geom. Topol. 11.5 (2011), pp. 2477–2545. arXiv: 0806.0476. url: http://dx.doi.org/10.2140/agt.2011.11.2477.

[HS]

Vladimir Hinich and Vadim Schechtman. Deformation theory and Lie algebra homology. arXiv: alg-geom/9405013.

[KS00]

Maxim Kontsevich and Yan Soibelman. “Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture”. In: Conférence Moshé Flato 1999, Vol. I (Dijon). Vol. 21. Math. Phys. Stud. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2000, pp. 255–307. arXiv: math/0001151.

[LM00]

Luis Lechuga and Aniceto Murillo. “Complexity in rational homotopy”. In: Topology 39.1 (2000), pp. 89–94. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(98)00059-7.

[LM01]

Luis Lechuga and Aniceto Murillo. “The fundamental class of a rational space, the graph coloring problem and other classical decision problems”. In: Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 8.3 (2001), pp. 451–467. url: http://projecteuclid.org/euclid.bbms/1102714569.

[LS08]

Pascal Lambrechts and Don Stanley. “Poincaré duality and commutative differential graded algebras”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 41.4 (2008), pp. 495–509. arXiv: math/0701309.

[Mén]

David Méndez. Colouring simplicial complexes via the Lechuga-Murillo’s model. arXiv: 1610.07174.