Morita Equivalence

Morita 同値という概念はどんどんその適用範囲を広げている。

元々は, 森田紀一氏によって [Mor58] で導入された 環の間の同値関係であるが, operad や groupoid など他の代数的構造や圏論的構造にも Morita 同値の概念が拡張され, 盛んに使われている。

最も基本的な, 二つの環の間の Morita 同値については, 例えば, Weibel の [Wei94] に定義と基本的な性質がある。 Derived category の同値など, より一般的な Morita 同値も含めた survey としては, Schwede の [Sch04] がある。Morita 同値も含めた, 森田紀一氏については, AMS の Notices の記事 [AGH97] が参考になる。

• 二つの環の module の圏が Abelian category として同値になるための条件

その圏同値が bimodule を tensor することに得られるというのが, 環の Morita 同値に関する重要な結果である。 その bimodule data のことを Morita context という。 Green と Psaroudakis [GP14] によると, Morita context は Bass の未出版の論文 [Bas] で導入されたようである。 Fomatati [Fom] は Bass と Roy の [BR67] を参照している。

• Morita context

より一般に二つの module の圏の間の functor が bimodule を tensor することにより与えられるための条件を調べたのが, Eilenberg [Eil60] と Watts [Wat60] である。

• Eilenberg-Watts theorem

Morita 同値である典型的な例は行列環とその係数環である。

• 環 \(R\) と行列環 \(M_n(R)\) は Morita 同値

他にも様々な文脈で Morita 同値が導入されている。例えば, 以下のようなものがある。

• \(C^*\)-algebra と \(W^*\)-algebra の Morita 同値 [Rie74]
• Banach algebra の Morita 同値 [Grø95]
• Poisson manifold の Morita 同値 [Xu91]
• Lie groupoid の Morita 同値 [MM03]
• von Neuamnn algebra や \(C^{*}\)-algebra の Morita 同値 [Rie74]
• coalgebra の Morita 同値 [Tak77]
• local unit を持つ semigroup の Morita 同値 [Tal95]
• symplectic manifold 上の star product の Morita 同値 [BW02]
• tensor category の Morita 同値 [Müg03a]
• small category の Morita 同値 [Müg03a]
• Hopf \(*\)-algebra の作用を持つ \(*\)-algebra の Morita 同値 [JW06]

中心となっているのは bimodule であり, 当然 algebra を object とし, bimodule を \(1\)-morphism とする bicategory が重要な役割を果す。Niles Johnson の [Joh] によると, このような bicategory の視点 での拡張としては, Fisher-Palmquist と Palmquist の [FP75], Müger の [Müg03b], Brouwer の [Bro03] などがある。

最近の流れとして, その up to homotopy 版として \((\infty ,n)\)-category を使うのは当然だろう。Haugseng が [Hau17] で \(E_n\)-algebra を object とし, bimodule や bimodule の間の bimodule を morphism とする \((\infty ,n+1)\)-category を構成している。

Module の category が monoidal structure を持つときには, monoidal category としての同値を考えるべきだろう。例えば, Hopf algebra 上の module の category の場合などである。

• monoidal Morita equivalence

Shimizu [Shi10] は finite group algebra の場合を考えている。 Shimizu [Shi15] によると, gauge equivalence という概念で finite dimensional Hopf algebra の monoidal Morita equivalence を特徴づけたのは, Schauenburg [Sch96] である。

有限群の複素表現の場合, symmetric monoidal category の構造から 元の群が復元できることが分かっているが, 複素表現が (symmetric structure を忘れた) monoidal category として同値 になるが群が同型ではないような例が Etingof と Gelaki の [EG01] に挙げれらている。Izumi と Kosaki [IK02] によっても同様の例は発見されている。

そこで, Etingof と Gelaki は 単なる monoidal structure だけで何が言えるかを考えている。彼等は, 二つの群の表現の category が monoidal categoryとして同値であるとき, その二つの群はisocategorical である, という言い方をしている。Davydov の [Dav01] もある。

• isocategorical group

Galindo [Gal17] は, 一般の体の上で二つの群が isocategorical になる条件を考えている。

Symmetric monoidal category と monoidal category の間には braided monoidal category があるので, braided monoidal category としての同値を考えることも自然なアイデアである。例えば [GMN07; NN08; Wak19] など。

• braided (monoidal) Morita equivalence

ホモロジー代数的な一般化としては, derived category を考えるのが自然だろう。 そして, それは structured ring spectra の圏へと一般化されている。

• 環 \(A\) と \(B\) に対し, それらの module の derived category が triangulated category として同値になる条件 [Ric89]
• \(S\)-algebra \(A\) と \(B\) に対し, それらの module の model category が Quillen 同値になる条件

前者は derived Morita equivalence, 後者は homotopical Morita equivalence と呼ばれるようである。後者を調べたものとしては, 例えば, Berglund と Hess [BH18] の monoidal model category での coring の homotopical Morita equivalence がある。

Derived category の同値を調べる際には, tilting complex というものが重要な役割を果す。詳しくは, König と Zimmermann の [KZ98] と Schwede の [Sch04] を見ること。Dugger と Shipley は [DS07] で DGA の topological equivalence という概念を用いて, topological tilting theory というものを考えている。

Niles Johnson の [Joh] は, derived Morita 同値と bicategory 的な Morita 同値を融合しようというものである。Johnson は [Joh14] で, bicategory での Azumaya object の特徴付けの結果として, Rickard や Dugger と Shipley の結果 (の一部) を得ている。

別の一般化として, Słomińska は, [Sło04] で \(R\)-module の圏に値を持つ functor category の Morita 同値を考えている。それを semi-stable model category に一般化したのが, Helmstutler の [Hel] である。

Naidu の [Nai07] は, 群や群とその \(3\)次元コホモロジー類の組に対しできる tensor category の間の Morita 同値を用いて, 群の圏や群と \(3\)次元コホモロジー類の圏に “categorical Morita equivalence” という概念を定義しようという試みである。

References

[AGH97]

A. V. Arhangel\('\)skii, K. R. Goodearl, and B. Huisgen-Zimmermann. “Kiiti Morita (1915–1995)”. In: Notices Amer. Math. Soc. 44.6 (1997), pp. 680–684.

[Bas]

Hyman Bass. The Morita Theorems. url: http://categorified.net/Bass-MoritaTheorems.pdf.

[BH18]

Alexander Berglund and Kathryn Hess. “Homotopical Morita theory for corings”. In: Israel J. Math. 227.1 (2018), pp. 239–287. arXiv: 1411.6517. url: https://doi.org/10.1007/s11856-018-1727-8.

[BR67]

Hyman Bass and Amit Roy. Lectures on topics in algebraic \(K\)-theory. Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, No. 41. Notes by Amit Roy. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1967, pp. ii+168+iv.

[Bro03]

R. M. Brouwer. “A bicategorical approach to Morita equivalence for von Neumann algebras”. In: J. Math. Phys. 44.5 (2003), pp. 2206–2214. arXiv: math/0301353. url: https://doi.org/10.1063/1.1563733.

[BW02]

Henrique Bursztyn and Stefan Waldmann. “The characteristic classes of Morita equivalent star products on symplectic manifolds”. In: Comm. Math. Phys. 228.1 (2002), pp. 103–121. arXiv: math/0106178. url: https://doi.org/10.1007/s002200200657.

[Dav01]

A. A. Davydov. “Galois algebras and monoidal functors between categories of representations of finite groups”. In: J. Algebra 244.1 (2001), pp. 273–301. url: http://dx.doi.org/10.1006/jabr.2001.8893.

[DS07]

Daniel Dugger and Brooke Shipley. “Topological equivalences for differential graded algebras”. In: Adv. Math. 212.1 (2007), pp. 37–61. arXiv: math/0604259. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2006.09.013.

[EG01]

Pavel Etingof and Shlomo Gelaki. “Isocategorical groups”. In: Internat. Math. Res. Notices 2 (2001), pp. 59–76. arXiv: math/0007196. url: http://dx.doi.org/10.1155/S1073792801000046.

[Eil60]

Samuel Eilenberg. “Abstract description of some basic functors”. In: J. Indian Math. Soc. (N.S.) 24 (1960), 231–234 (1961).

[Fom]

Yves Fomatati. Necessary conditions for the existence of Morita Contexts in the bicategory of Landau-Ginzburg Models. arXiv: 2106.10490.

[FP75]

J. Fisher-Palmquist and P. H. Palmquist. “Morita contexts of enriched categories”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 50 (1975), pp. 55–60.

[Gal17]

César Galindo. “Isocategorical groups and their Weil representations”. In: Trans. Amer. Math. Soc. 369.11 (2017), pp. 7935–7960. arXiv: 1407.7014. url: https://doi.org/10.1090/tran/6919.

[GMN07]

Christopher Goff, Geoffrey Mason, and Siu-Hung Ng. “On the gauge equivalence of twisted quantum doubles of elementary abelian and extra-special 2-groups”. In: J. Algebra 312.2 (2007), pp. 849–875. arXiv: math/0603191. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.10.022.

[GP14]

Edward L. Green and Chrysostomos Psaroudakis. “On Artin algebras arising from Morita contexts”. In: Algebr. Represent. Theory 17.5 (2014), pp. 1485–1525. arXiv: 1303.2083. url: https://doi.org/10.1007/s10468-013-9457-4.

[Grø95]

Niels Grønbæk. “Morita equivalence for Banach algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 99.2 (1995), pp. 183–219. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(95)91151-F.

[Hau17]

Rune Haugseng. “The higher Morita category of \(\mathbb {E}_n\)-algebras”. In: Geom. Topol. 21.3 (2017), pp. 1631–1730. arXiv: 1412.8459. url: https://doi.org/10.2140/gt.2017.21.1631.

[Hel]

Randall D. Helmstutler. Model category extensions of the Pirashvili-Słomińska theorems. arXiv: 0806.1540.

[IK02]

Masaki Izumi and Hideki Kosaki. “On a subfactor analogue of the second cohomology”. In: Rev. Math. Phys. 14.7-8 (2002). Dedicated to Professor Huzihiro Araki on the occasion of his 70th birthday, pp. 733–757. url: http://dx.doi.org/10.1142/S0129055X02001375.

[Joh]

Niles Johnson. Morita Theory For Derived Categories: A Bicategorical Perspective. arXiv: 0805.3673.

[Joh14]

Niles Johnson. “Azumaya objects in triangulated bicategories”. In: J. Homotopy Relat. Struct. 9.2 (2014), pp. 465–493. arXiv: 1005.4878. url: http://dx.doi.org/10.1007/s40062-013-0035-6.

[JW06]

Stefan Jansen and Stefan Waldmann. “The \(H\)-covariant strong Picard groupoid”. In: J. Pure Appl. Algebra 205.3 (2006), pp. 542–598. arXiv: math/0409130. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2005.07.015.

[KZ98]

Steffen König and Alexander Zimmermann. Derived equivalences for group rings. Vol. 1685. Lecture Notes in Mathematics. With contributions by Bernhard Keller, Markus Linckelmann, Jeremy Rickard and Raphaël Rouquier. Berlin: Springer-Verlag, 1998, pp. x+246. isbn: 3-540-64311-7.

[MM03]

I. Moerdijk and J. Mrčun. Introduction to foliations and Lie groupoids. Vol. 91. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press, 2003, pp. x+173. isbn: 0-521-83197-0. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511615450.

[Mor58]

Kiiti Morita. “Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition”. In: Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku Sect. A 6 (1958), pp. 83–142.

[Müg03a]

Michael Müger. “From subfactors to categories and topology. I. Frobenius algebras in and Morita equivalence of tensor categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 180.1-2 (2003), pp. 81–157. arXiv: math/0111204. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00247-5.

[Müg03b]

Michael Müger. “From subfactors to categories and topology. II. The quantum double of tensor categories and subfactors”. In: J. Pure Appl. Algebra 180.1-2 (2003), pp. 159–219. arXiv: math/0111205. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00248-7.

[Nai07]

Deepak Naidu. “Categorical Morita equivalence for group-theoretical categories”. In: Comm. Algebra 35.11 (2007), pp. 3544–3565. arXiv: math/0605530. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927870701511996.

[NN08]

Deepak Naidu and Dmitri Nikshych. “Lagrangian subcategories and braided tensor equivalences of twisted quantum doubles of finite groups”. In: Comm. Math. Phys. 279.3 (2008), pp. 845–872. arXiv: 0705.0665. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-008-0441-5.

[Ric89]

Jeremy Rickard. “Morita theory for derived categories”. In: J. London Math. Soc. (2) 39.3 (1989), pp. 436–456. url: http://dx.doi.org/10.1112/jlms/s2-39.3.436.

[Rie74]

Marc A. Rieffel. “Morita equivalence for \(C^{*}\)-algebras and \(W^{*}\)-algebras”. In: J. Pure Appl. Algebra 5 (1974), pp. 51–96. url: https://doi.org/10.1016/0022-4049(74)90003-6.

[Sch04]

Stefan Schwede. “Morita theory in abelian, derived and stable model categories”. In: Structured ring spectra. Vol. 315. London Math. Soc. Lecture Note Ser. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004, pp. 33–86. url: http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511529955.005.

[Sch96]

Peter Schauenburg. “Hopf bi-Galois extensions”. In: Comm. Algebra 24.12 (1996), pp. 3797–3825. url: http://dx.doi.org/10.1080/00927879608825788.

[Shi10]

Kenichi Shimizu. “Monoidal Morita invariants for finite group algebras”. In: J. Algebra 323.2 (2010), pp. 397–418. arXiv: 0905.1185. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2009.08.021.

[Shi15]

Kenichi Shimizu. “On indicators of Hopf algebras”. In: Israel J. Math. 207.1 (2015), pp. 155–201. arXiv: 1106.2936. url: https://doi.org/10.1007/s11856-015-1156-x.

[Sło04]

Jolanta Słomińska. “Dold-Kan type theorems and Morita equivalences of functor categories”. In: J. Algebra 274.1 (2004), pp. 118–137. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2003.10.025.

[Tak77]

Mitsuhiro Takeuchi. “Morita theorems for categories of comodules”. In: J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 24.3 (1977), pp. 629–644.

[Tal95]

S. Talwar. “Morita equivalence for semigroups”. In: J. Austral. Math. Soc. Ser. A 59.1 (1995), pp. 81–111.

[Wak19]

Michihisa Wakui. “Braided Morita equivalence for finite-dimensional semisimple and cosemisimple Hopf algebras”. In: Proceedings of the Meeting for Study of Number Theory, Hopf Algebras and Related Topics. Yokohama Publ., Yokohama, 2019, pp. 157–183. arXiv: 1806.03042.

[Wat60]

Charles E. Watts. “Intrinsic characterizations of some additive functors”. In: Proc. Amer. Math. Soc. 11 (1960), pp. 5–8.

[Wei94]

Charles A. Weibel. An introduction to homological algebra. Vol. 38. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1994, pp. xiv+450. isbn: 0-521-43500-5; 0-521-55987-1. url: https://doi.org/10.1017/CBO9781139644136.

[Xu91]

Ping Xu. “Morita equivalence of Poisson manifolds”. In: Comm. Math. Phys. 142.3 (1991), pp. 493–509. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104248717.