(有限) poset の一般化として, rank function を持つ small category が色々考えられている。
Bessis の [Bes] で定義されている atomic category という概念は, Hasse diagram の類似を持つと言う点で
poset に近い。 Homogeneous atomic category は rank function に類似の関数を持つ点で, 一層 poset
に近い。
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atomic category
- atomic category のグラフ
- homogeneous atomic category
Rank function の類似の関数を持つものとしては, Borisov の [Bor] にある nested graph もある。Noguchi
[Nog11; Nog13] は \(\N \)-filtered acyclic category という用語を用いている。 Hoffman [Hof] の考えている
updown category という構造も rank function を持つ category の一種である。 他にも Möbius category
というものもある。
- nested graph
- \(\N \)-filtered acyclic category
- updown category
- Möbius category
Möbius category は, Leroux により locally finite posets, Cartier-Foata
finite-decomposition monoid, free category などの共通の一般化として導入されたものである。元の論文は, [BE75]
の pp. 280–282 に収録されている。 詳しい内容は, Content と Lemay との共著 [CLL80] にある。 他の文献としては,
Leroux の論文 [Ler82] や Leinster の論文 [Lei12] がある。
また, \(\infty \)-category 版が, Gálvez-Carillo, Kock, Tonks [GKT18a; GKT18b]
により導入されている。Carlier [Car20] が調べている。
\(\N ^k\) に値を持つ rank function を持つものは, Kumjian と Pask [KP00] で \(k\)-graph という名前で呼ばれている。
\(k\)-ranked category と呼んだ方が良いと思うが。
- higher-rank graph (higher ranked category)
Hazlewood, Raeburn, Sims, Webster の [Haz+13] によると, higher ranked category
に対して, その生成系となる colored quiver を考えたのは, Fowler と Sims [FS02] らしい。
Kumjian と Pask は, その \(C^*\)-algebra を考えている。また Sims との [KPS12] によると, “geometric
realization” も考えていて, \(\N ^k\) で rank の付いた small category の代数的トポロジー的な研究を行なっているようである。例えば,
その fundamental groupoid については [PQR04] で, covering については, [PQR05] で調べられている。
[Kal+16] では, 幾何学的実現の基本群と \(k\)-graph の基本群が同型 になることが示されている。 [GK18] では,
コホモロジーを考えている。
References
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