辺や頂点にラベルの付いた graph や quiver

グラフは, 複数のものの関係を表すのに用いられるが, その関係をより詳しく表すために, 辺にラベルを付けることは良く行なわれている。

例えば, 群の Cayley graph や cacti operad の定義に現れるものなど。

• Cayley graph

Braden と MacPherson の [BM01] に現れるのは, 辺がベクトル空間の中の\(1\)次元部分空間でラベルつけられた moment graph と呼ばれるものである。 Tropical な世界では, metric graph を代数曲線の類似として扱うようである。Metric graph とは, 辺に「長さ」が指定されているものである。

• moment graph
• metric graph

群の元でラベルを付けたものを gain graph というらしい。Zaslavsky が中心になって調べているようである。例えば, [Ber+09] など。

• gain graph

また, 辺や頂点に群そのものを載せることも考えられている。そのような graph of groups からは, 群ができる。また von Neumann algebra や \(C^*\)-algebra を載せることも考えられている。Fima と Freslon の [FF14] など。

頂点の色付けは, グラフに関する基本的な問題で, 様々な不変量が考えられているが, 頂点を2色で色付けた planar graph をディスク上に描いたものは, plabic graph と呼ばれる。Postnikov により, totally nonnegative Grassmannian の positroid cell decomposition を考えるために導入された。Galashin らの [GPW22] に書かれているように, cluster algebra を始めとして, 様々な分野と関係しているようで興味深い。

• plabic graph

代数曲線 を metric graph の各頂点に載せたものは, Amini と Baker の [AB15] では, metrized complex of algebraic curve と呼ばれている。

射影空間の Gromov-Witten invariant を tropical に計算するために, Brugalle と Mikhalkin [BM07] は, labeled floor diagram という, weight の付いた quiver を考えた。Fomin と Mikhalkin の [FM10] を見るとよい。

• labeled floor diagram

References

[AB15]

Omid Amini and Matthew Baker. “Linear series on metrized complexes of algebraic curves”. In: Math. Ann. 362.1-2 (2015), pp. 55–106. arXiv: 1204.3508. url: https://doi.org/10.1007/s00208-014-1093-8.

[Ber+09]

Pascal Berthomé, Raul Cordovil, David Forge, Véronique Ventos, and Thomas Zaslavsky. “An elementary chromatic reduction for gain graphs and special hyperplane arrangements”. In: Electron. J. Combin. 16.1 (2009), Research Paper 121, 31. arXiv: 1001.4216. url: http://www.combinatorics.org/Volume_16/Abstracts/v16i1r121.html.

[BM01]

Tom Braden and Robert MacPherson. “From moment graphs to intersection cohomology”. In: Math. Ann. 321.3 (2001), pp. 533–551. arXiv: math/0008200. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002080100232.

[BM07]

Erwan Brugallé and Grigory Mikhalkin. “Enumeration of curves via floor diagrams”. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris 345.6 (2007), pp. 329–334. arXiv: 0706.0083. url: https://doi.org/10.1016/j.crma.2007.07.026.

[FF14]

Pierre Fima and Amaury Freslon. “Graphs of quantum groups and K-amenability”. In: Adv. Math. 260 (2014), pp. 233–280. arXiv: 1307.5609. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.04.008.

[FM10]

Sergey Fomin and Grigory Mikhalkin. “Labeled floor diagrams for plane curves”. In: J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 12.6 (2010), pp. 1453–1496. arXiv: 0906.3828. url: http://dx.doi.org/10.4171/JEMS/238.

[GPW22]

Pavel Galashin, Alexander Postnikov, and Lauren Williams. “Higher secondary polytopes and regular plabic graphs”. In: Adv. Math. 407 (2022), Paper No. 108549. arXiv: 1909.05435. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2022.108549.