基本群の一般化や変種

基本群を定義するときには基点を指定しなければならないが, それが嫌な場合には, 基本群ではなく fundamental groupoid を考えた方が自然である, というのは, 言われてみると誰もが納得することだと思うが, May の[May99] では, その視点から van Kampen の定理が証明してある。より古くは, R. Brown の [Bro67] があるが。 Brown は, groupoid van Kampen の定理の応用として, Jordanの曲線定理について, [Bro06] で述べている。

• fundamental groupoid

Costenoble と Waner [CW16] によると, equivariant版は tom Dieck の本 [Die87] で導入されたようである。

• equivariant fundamental groupoid

また, 基本群はある条件をみたす連続写像の集合を同値関係で割って定義するが, 連続写像の集合には compact-open topology が入るので, 等化位相により基本群を位相空間として考えるのは自然である。

• topological fundamental group

定義域を, \([0,1]\)ではなく “big interval” にした big fundamental group というものもある。Cannon と Conner [CC00] により導入された。 Penrod の [Pen] をみるとよい。

• big fundamental group と big homotopy theory

被覆空間とは限らない, 同じ次元の smooth manifold の間の smooth map に対し, 基本群に対応するものとして, transverse fundamental group というものを Melikhov [Mel] が定義している。

• transverse fundamental group

Stratified space や directed homotopy theory で現われる pospace などでは, 逆戻りできない道を考えないといけないので groupoid でもダメで, small category として考える必要がある。更に, Lurie のように \((\infty ,1)\)-category として定義することを主張している人もいる。

• fundamental category

写像 \(f: X\to Y\) が与えられたとき, その fiberwise fundamental groupoid が定義できるが, Roberts [Rob] はその上に \(Y\) 上のtopological groupoid の構造を定義することを考えている。その元になっているのは, Danesh-Naruie の [BD75; BDH76] である。

• fiberwise topological fundamental group

Barraud, Gadbled, Le [Bar+20] は, 1-form に対する Novikov の Morse 理論に対応するものとして, 基本群の 「Novikov版」を定義している。

• Novikov fundamental group

Megan Shulman の [Shu] によると, 群の作用を持つ空間に対しては, fundamental EI-category が tom Dieck の [Die87] で定義されている。

• \(G\)-space の fundamental EI-category

一方, \(G\)-simplicial set に対しては, Mukherjee と Sen の [MS10; MS11] では, fundamental groupoid が定義され使われている。

• \(G\)-Kan complex の fundamental groupoid

Lamination という, 多様体を層状に重ねた構造に対し, Gendron [Gen06; Gen08] は, fundamental germ という基本群の拡張を定義している。

代数多様体やschemeに対しては, まず Grothendieck の étale fundamental group [SGA171] がある。 Nori [Nor76] による group scheme としての構成もある。 それらの比較を Esnault と Hai が [EH08] で行なっている。

• étale fundamental group
• Nori の fundamental group scheme

Algebra や bound quiver などに対しても, 基本群の類似が定義できる。

• bound quiverの基本群

Digital topology で定義される基本群の類似もある。 Boxer [Box99] によると, [Kon89; KRR92] などで考えられているが, トポロジーでの基本群とはあまり似ていないようである。 Boxer は, topological アプローチを提案している。 Lupton, Oprea, Scoville によるアプローチ [LOS] もある。

References

[Bar+20]

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[BD75]

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[Bro06]

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[Gen08]

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[Pen]

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[Rob]

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[SGA171]

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[Shu]

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