Representations of Small Categories

小圏は, 様々な代数的構造の一般化とみなすことができる。 モノイドは object が1つの小圏であるし, 群は object 1 つの groupoidであり, groupoid は全ての morphism が invertible である小圏である。

また, 可換環 \(k\) 上の加群の圏 \(\lMod {k}\) で enrich された小圏, すなわち \(k\)-linear な小圏は, \(k\) 上の algebra の many-objectification である。

別の方向では, poset も小圏の特別な場合とみなすことができる。 代数的構造というより, 組み合せ論的構造であるが。

このように考えると, 各種代数的構造の 表現論を, 小圏に一般化したくなる。では, 小圏 \(C\) の \(k\) 上の表現とは何か, であるが, それは単に関手 \(C\to \lMod {k}\) (あるいは \(C^{\op }\to \lMod {k}\)) のことである。 \(A\) が \(k\) 上の algebra のとき, \(A\) を object 1つの \(k\)-linear category と考えたとき, \(k\)-linear functor \(A\to \lMod {k}\) を与えることは, 左\(A\)加群を与えることと同値であり, \(k\)-linear functor \(A^{\op }\to \lMod {k}\) を与えることは, 右\(A\)加群を与えることと同値だからである。

一方, 関手 \(F: C\to \lMod {K}\) からは

として, \(k\)-module ができるが, これは, 射影 \(\underline {F}\to C_{0}\) により left \(C_{0}\)-comodule とみなすことができる。すると, \(F\) は左作用

とみなすことができる。 Topological category や topological groupoid の作用を考えるときは, この視点が必要になる。

小圏と同じように頂点と矢印で表されるものとして quiver があるが, quiver の表現は様々な分野で登場する。 頂点に加群, 矢印に準同型を対応させるもの, として定義されていることが多いが, 別の言い方をすると, その quiver から生成された free category (path category) の表現である。

• representation of quiver

代数的トポロジーで使われる小圏の中で, 最も重要なものの一つは, simplicial object の定義に使われる \(\Delta \) であるが, その \(\lMod {k}\) での表現は, (co)simplicial \(k\)-module に他ならない。

更に, \(\Delta \) の様々な変種の表現として, (co)simplcial object の変種が, 色々定義される。 そのようなものは, ホモトピー論的な視点から調べられることも多いが, 表現論的に調べられているものとして, Church, Ellenberg, Farb [CEF15] により導入された FI-object やその一般化がある。

• FI-object と co-FI-object

そのような (co-)FI object を “combinatorial category” の表現として統一して扱うことを, Sam と Snowden が [SS17] で提案している。そこでは, Gröbner category や quasi-Gröbner category などの概念が導入され, Gröbner 基底の理論の一般化が展開されている。

• Gröbner category
• quasi-Gröbner category

他にも, persistent homology や presheaf も小圏の表現である。

• persistent homology
• presheaf

小圏の category や, より一般に monoidal category で enrich された small category の category は, bicategory の構造を持つので, それらの category に値を持つ small category の表現を考えるときには, 表現として lax functor, colax functor, そして pseudofunctor といった選択肢がある。

この中で, pseudofunctor の場合を Mawei Wu が [Wub; Wua] などで考えている。当然であるが, Grothendieck construction が使われている。

また, 表現する構造も, 高次の圏の理論の発展により, \(2\)-group や \(2\)-category のような, 高次の圏論的構造の場合も考えられるようになっている。

• representation of \(2\)-category

References

[CEF15]

Thomas Church, Jordan S. Ellenberg, and Benson Farb. “FI-modules and stability for representations of symmetric groups”. In: Duke Math. J. 164.9 (2015), pp. 1833–1910. arXiv: 1204.4533. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-3120274.

[SS17]

Steven V. Sam and Andrew Snowden. “Gröbner methods for representations of combinatorial categories”. In: J. Amer. Math. Soc. 30.1 (2017), pp. 159–203. arXiv: 1409.1670. url: https://doi.org/10.1090/jams/859.

[Wua]

Mawei Wu. A characterization of modules over dg-representations of small categories. arXiv: 2409.04442.

[Wub]

Mawei Wu. Pseudoskew category algebras and modules over representations of small categories. arXiv: 2406.19883.