Representations of 2-Categories

代数 (多元環) は, object 一つの linear category とみなすことができるので, associative algebra の 高次版としては, object 一つの (linear) \(2\)-category を考えるのが自然である。

Object 一つの \(2\)-category は monoidal category なので, associative algebra の表現の高次版は, linear monoidal category の表現である。実際, fusion category などの表現は様々な人により調べられている。

一方, 「object 一つ」という制限は, 不自然に思えなくもない。 この制限を外した, 一般の \(2\)-category の表現も考えられている。 最初に考えたのが誰だか分からないが, Rouquier の仕事 [Rou; Rou12] は有名である。

最近では, Mazorchuk と Miemietz が中心となって, ある種の有限性を持つ \(2\)-category の表現を調べている。 その有限性の条件として, [MM11] で finitary \(2\)-category, そして fiat \(2\)-category という \(2\)-category の class を定義し, その \(2\)-representation を調べている。

• finitary \(2\)-category
• fiat \(2\)-category
• \(2\)-representation

彼等 [MM16] によると, fiat 2-category の例としては, Rouquier [Rou] や Chuang と Rouquier [CR08] のものの他に, Bernstein と Gel\('\)fand の [BG80], Frenkel と Khovanov と Stroppel の [FKS06], Lauda の [Lau10], Khovanov と Lauda の [KL10; KL11] などに登場するものがあるらしい。

また, bicategory への一般化は, [Mac+21] で考えられている。

• finitary bicategory
• fiab bicategory
• birepresentation

当然, 有限性の条件を弱めようというする人もいる。 例えば, James Macpherson は [Mac22b] で locally finitary \(2\)-category, [Mac22a] で locally wide finitary \(2\)-category の概念を導入し, その表現を調べている。

References

[BG80]

J. N. Bernstein and S. I. Gel\('\)fand. “Tensor products of finite- and infinite-dimensional representations of semisimple Lie algebras”. In: Compositio Math. 41.2 (1980), pp. 245–285. url: http://www.numdam.org/item?id=CM_1980__41_2_245_0.

[CR08]

Joseph Chuang and Raphaël Rouquier. “Derived equivalences for symmetric groups and \(\mathfrak {sl}_2\)-categorification”. In: Ann. of Math. (2) 167.1 (2008), pp. 245–298. arXiv: math / 0407205. url: http://dx.doi.org/10.4007/annals.2008.167.245.

[FKS06]

Igor Frenkel, Mikhail Khovanov, and Catharina Stroppel. “A categorification of finite-dimensional irreducible representations of quantum \(\mathfrak {sl}_2\) and their tensor products”. In: Selecta Math. (N.S.) 12.3-4 (2006), pp. 379–431. arXiv: math/0511467. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00029-007-0031-y.

[KL10]

Mikhail Khovanov and Aaron D. Lauda. “A categorification of quantum \(\mathrm {sl}(n)\)”. In: Quantum Topol. 1.1 (2010), pp. 1–92. arXiv: 0807. 3250. url: http://dx.doi.org/10.4171/QT/1.

[KL11]

Mikhail Khovanov and Aaron D. Lauda. “Erratum to: “A categorification of quantum \({\rm sl}(n)\)” [MR2628852]”. In: Quantum Topol. 2.1 (2011), pp. 97–99. url: https://doi.org/10.4171/QT/15.

[Lau10]

Aaron D. Lauda. “A categorification of quantum \(\mathrm {sl}(2)\)”. In: Adv. Math. 225.6 (2010), pp. 3327–3424. arXiv: 0803 . 3652. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.06.003.

[Mac+21]

Marco Mackaay, Volodymyr Mazorchuk, Vanessa Miemietz, Daniel Tubbenhauer, and Xiaoting Zhang. “Finitary birepresentations of finitary bicategories”. In: Forum Math. 33.5 (2021), pp. 1261–1320. arXiv: 2008 . 01658. url: https://doi.org/10.1515/forum-2021-0021.

[Mac22a]

James Macpherson. “2-representations and associated coalgebra 1-morphisms for locally wide finitary 2-categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 226.11 (2022), Paper No. 107081, 27. arXiv: 2106.12490. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2022.107081.

[Mac22b]

James Macpherson. “Extension of the 2-representation theory of finitary 2-categories to locally (graded) finitary 2-categories”. In: Ark. Mat. 60.1 (2022), pp. 125–172. arXiv: 2012.03863. url: https://doi.org/10.4310/arkiv.2022.v60.n1.a6.

[MM11]

Volodymyr Mazorchuk and Vanessa Miemietz. “Cell 2-representations of finitary 2-categories”. In: Compos. Math. 147.5 (2011), pp. 1519–1545. arXiv: 1011.3322. url: http://dx.doi.org/10.1112/S0010437X11005586.

[MM16]

Volodymyr Mazorchuk and Vanessa Miemietz. “Endomorphisms of cell 2-representations”. In: Int. Math. Res. Not. IMRN 24 (2016), pp. 7471–7498. arXiv: 1207 . 6236. url: https://doi.org/10.1093/imrn/rnw025.

[Rou]

Raphael Rouquier. 2-Kac-Moody algebras. arXiv: 0812.5023.

[Rou12]

Raphaël Rouquier. “Quiver Hecke algebras and 2-Lie algebras”. In: Algebra Colloq. 19.2 (2012), pp. 359–410. arXiv: 1112.3619. url: https://doi.org/10.1142/S1005386712000247.