FI Objects and Co-FI-Objects

Church, Ellenberg, Farb [CEF15] は, 対称群の表現の stability を考えるために, 有限集合と単射のなす圏 (の skeletal subcategory) \(\category {FI}\) を用いることを提案した。 \(\category {FI}\) から加群の圏へのfunctor を FI-module と言い, contravariant functor を co-FI-module という。より一般に, simplicial object と cosimplicial object のように FI-object とco-FI-object が定義される。 ただし, 彼等より前に, Sagave と Schlichtkrull [SS12] が 位相空間の圏での FI-object を infinite loop space を strict commutative monoid object として表すために用いている。 Sagave と Schlichtkrull の論文では, \(\category {FI}\) は \(\mathcal {I}\) で表されているが。ここでは Church らの記号と用語を用いることにする。

• FI-object と co-FI-object

注意するのは, (co)simplicial object のときと逆で, \(\category {FI}\) からの covariant functor を FI-object, contravariant functor を co-FI-object と呼ぶことである。

各 \(n\) に対し, \(n\)次対称群 \(\Sigma _n\) の表現 \(V_n\) が与えられている場合, \(\{1,2,\ldots ,m\}\) から\(\{1,2,\ldots , n\}\) への単射から, 写像 \(V_{m}\to V_{n}\) が定義される場合が多い。Church らはそのような状況を抽象化して考えることを提案したのである。

例えば, 空間 \(X\) の \(n\)点 configuration space \(\mathrm {Conf}_{n}(X)\) は, \(n\)個の元からなる集合 \(S\) の \(X\) への埋め込みの成す空間 \(\mathrm {Emb}(S,X)\)とみなせ, そのコホモロジー \(H^*(\mathrm {Conf}_n(X))=H^*(\mathrm {Emb}(S,X))\) は \(\mathrm {Aut}(S)=\Sigma _n\) の表現になるが, 有限集合の包含 \(S\hookrightarrow T\) から制限による写像 \(\mathrm {Emb}(T,X)\to \mathrm {Emb}(S,X)\) が得られ, コホモロジーの間の写像 \(H^*(\mathrm {Emb}(S,X))\to H^*(\mathrm {Emb}(T,X))\) が得られる。 これにより configuration space のコホモロジー は FI-module の構造を持つ。 また その ホモトピー群 は co-FI-アーベル群の構造を持つが, それについては Kupers と Miller が [KM18] で調べている。

他には, FI-object と co-FI-object の例としては以下のようなものがある。

• \(n\)点が mark された種数 \(g\) の Riemann面のmoduli space は co-FI-空間, よってそのコホモロジーは FI-module (Church, Ellenberg, Farb [CEF15])
• 多様体 \(M\) の\(n\)点を固定する mapping class group は, co-FI-group, よってコホモロジーは FI-module (Rolland [Rol])

前述したように, Sagave と Schlichtkrull [SS12] は, infinite loop space, すなわち \(E_{\infty }\)-space を strict commutative monoid object として表すために, 位相空間の圏での FI-object を用いている。 その (co)chain complex 版が Richter と Sagave [RS20] により得られている。

FI-module の一般的 (代数的) な性質も調べられている。

• Noether環上の finitely genrated FI-module の sub-FI-module は finitely generated (Church, Ellenberg, Farb, Nagpal [Chu+14])
• FI-module の Castelnuovo-Mumford regularity (Church and Ellenborg [CE17])

変種としては, まず 群 \(G\) の作用を持つものがある。 Sam と Snowden [SS19] により導入された。

• \(\mathrm {FI}_{G}\)-module

Casto [Casb; Casa] はその応用を考えている。

\(\mathrm {FI}\) の直積の場合については, Li と Ramos [LR21] や Zeng [Zen23] により考えられている。

• \(\mathrm {FI}^{m}\)-module

Sam と Snowden は [SS17]で finite set と surjection の圏 \(\category {FS}\) を考えている。 Proudfoot [Pro22] は, \(\category {FS}\) が type \(A\) Coxeter arrangement に対応することに気付き, その type \(B\) 版を導入している。

• FS-object と co-FS-object
• type \(B\) FS-object

FI-module での対称群を古典型 Lie 群の Weyl group に一般化したものを Jennifer Wilson [Wil14] が考えている。 また, 有限環上の general linear group や symplectic group に変えたものを Putman と Sam [PS17] が導入し調べている。

References

[Casa]

Kevin Casto. \(\mathrm {FI}_G\)-modules and arithmetic statistics. arXiv: 1703.07295.

[Casb]

Kevin Casto. \(\mathrm {FI}_G\)-modules, orbit configuration spaces, and complex reflection groups. arXiv: 1608.06317.

[CE17]

Thomas Church and Jordan S. Ellenberg. “Homology of FI-modules”. In: Geom. Topol. 21.4 (2017), pp. 2373–2418. arXiv: 1506.01022. url: https://doi.org/10.2140/gt.2017.21.2373.

[CEF15]

Thomas Church, Jordan S. Ellenberg, and Benson Farb. “FI-modules and stability for representations of symmetric groups”. In: Duke Math. J. 164.9 (2015), pp. 1833–1910. arXiv: 1204.4533. url: http://dx.doi.org/10.1215/00127094-3120274.

[Chu+14]

Thomas Church, Jordan S. Ellenberg, Benson Farb, and Rohit Nagpal. “FI-modules over Noetherian rings”. In: Geom. Topol. 18.5 (2014), pp. 2951–2984. arXiv: 1210.1854. url: https://doi.org/10.2140/gt.2014.18.2951.

[KM18]

Alexander Kupers and Jeremy Miller. “Representation stability for homotopy groups of configuration spaces”. In: J. Reine Angew. Math. 737 (2018), pp. 217–253. arXiv: 1410.2328. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2015-0038.

[LR21]

Liping Li and Eric Ramos. “Local cohomology and the multigraded regularity of \(\cF \cI ^m\)-modules”. In: J. Commut. Algebra 13.2 (2021), pp. 235–252. arXiv: 1711.07964. url: https://doi.org/10.1216/jca.2021.13.235.

[Pro22]

Nicholas Proudfoot. “A type B analogue of the category of finite sets with surjections”. In: Electron. J. Combin. 29.3 (2022), Paper No. 3.34, 19. arXiv: 2011.01313. url: https://doi.org/10.37236/11186.

[PS17]

Andrew Putman and Steven V. Sam. “Representation stability and finite linear groups”. In: Duke Math. J. 166.13 (2017), pp. 2521–2598. arXiv: 1408.3694. url: https://doi.org/10.1215/00127094-2017-0008.

[Rol]

Rita Jimenez Rolland. On the cohomology of pure mapping class groups as FI-modules. arXiv: 1207.6828.

[RS20]

Birgit Richter and Steffen Sagave. “A strictly commutative model for the cochain algebra of a space”. In: Compos. Math. 156.8 (2020), pp. 1718–1743. arXiv: 1801.01060. url: https://doi.org/10.1112/s0010437x20007319.

[SS12]

Steffen Sagave and Christian Schlichtkrull. “Diagram spaces and symmetric spectra”. In: Adv. Math. 231.3-4 (2012), pp. 2116–2193. arXiv: 1103.2764. url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.07.013.

[SS17]

Steven V. Sam and Andrew Snowden. “Gröbner methods for representations of combinatorial categories”. In: J. Amer. Math. Soc. 30.1 (2017), pp. 159–203. arXiv: 1409.1670. url: https://doi.org/10.1090/jams/859.

[SS19]

Steven V. Sam and Andrew Snowden. “Representations of categories of \(G\)-maps”. In: J. Reine Angew. Math. 750 (2019), pp. 197–226. arXiv: 1410.6054. url: https://doi.org/10.1515/crelle-2016-0045.

[Wil14]

Jennifer C. H. Wilson. “\(\mathrm {FI}_{\cW }\)-modules and stability criteria for representations of classical Weyl groups”. In: J. Algebra 420 (2014), pp. 269–332. arXiv: 1309.3817. url: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2014.08.010.

[Zen23]

Duo Zeng. “A classification of injective \(\mathrm {FI}^m\)-modules”. In: Comm. Algebra 51.10 (2023), pp. 4244–4258. arXiv: 2207.07147. url: https://doi.org/10.1080/00927872.2023.2203772.