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小圏を幾何学的対象とみなし, その性質を調べることは重要である。基本的なのは, 小圏の圏から simplicial set の圏への nerve
functor, そして, それの幾何学的実現を行った分類空間を取る functor である。 その分類空間のホモトピー型を調べるときの基本的な定理として,
Quillen が [Qui73] で証明した Theorem A と B がある。
ある monoidal category \(\bm {V}\) の category object になっている小圏 (つまり \(\bm {V}\) での internal category)
の場合には, nerve は \(\bm {V}\) における simplicial object になる。この意味で, nerve の方 が基本的な functor
である。
いくつかの \(\bm {V}\) については, 「幾何学的実現」をとり分類空間を構成することもできる。例えば, \(\bm {V}\) が位相空間の圏の場合である。
また, \(C\) が \(\bm {V}\) で enrichされた小圏の場合は, その nerve \(N_{\bullet }C\) は \(\bm {V}\) の simplicial object にはならない。 \(N_{0}C\) は単なる集合で, \(\bm {V}\) の
object ではないからである。 そのような場合でも, nerve や幾何学的実現に対応するものを定義できるときもある。 例えば, \(\bm {V}\)
が小圏の圏の場合, \(\bm {V}\) で enrich された category とは, strict \(2\)-category であるが, それに対しては, nerve
の構成にいくつかの方法がある。
分類空間あるいは nerve をとることにより, 小圏はホモトピー論の手法を用いて調べることができるようになる。 その基本的な性質としては,
Quillenの [Qui73] をみるとよい。他には, Weibel の本 [Wei13] の第IV章が便利である。各種小圏について,
この分類空間を取って位相空間として考える手法は重要である。
Poset については, 組み合せ論的な視点から詳しく研究されているので, その結果を小圏に一般化するのは興味深い問題である。
その一つの例として, Leinster による小圏のEuler characteristic の定義がある。
Euler 標数と言えばホモロジーであるが, small category の(コ)ホモロジーも様々な場面で登場する。
Euler 標数や(コ)ホモロジー以外にも, 色々不変量は考えられている。 例えば, Tanaka [Tan18] は
Lusternik-Schnierelmann category の類似を定義し調べている。 Macías-Virgós と Mosquera-Lois
[MM20] は, homotopic distance の概念を functor に対し定義し, それを用いて topological complexity
の類似を定義している。更に, 彼等は Carcacía-Campos との共著 [CMM] で, higher homotopic distance
を導入し, それを用いて higher topological complexity を導入している。
- small category の Lusternik-Schnierelmann category
- functor の homotopic distance
- small category の topological complexity
- functor の higher homotopic distance
- small category の higher topological complexity
より現代的な言葉を用いると, 小圏のホモトピー論とは, 小圏の圏にモデル圏の構造を入れることである。 そして nerve をとる functor
が weak equivalence を保つようにできるとよい。 そのようなモデル構造としては, Thomason が [Tho80]
で定義したものがある。 一部不備があり, Cisinski が [Cis99] で修正している。
- Thomason の model structure
Gagna の [Gag18] によると, nerve functor が小圏の category の homotopy category と
simplicial set の category の homotopy の間の圏同値であることは, Thomason よりずっと前に, Illusie の
thesis [Ill71; Ill72] に書かれているらしい。ただし, Quillen よるそうであるが。 それを model category
の言葉を用いて精密化したのが, Thomason の定理であると解釈すべきだろう。
もっとも, nerve functor には色々欠点もある。例えば, Fritsch と Latch により [FL79; FL81]
で指摘されているように, nerve functor の left adjoint \(c\), つまり simplicial set を “category化” する
functor は nerve functor の inverse になっていない。
- \(n\ge 2\) に対し \(N(c(\Delta ^n/\partial \Delta ^n)) \cong \Delta ^0\)
- \(n\ge 2\) に対し \(N(c(\Sd ((\Delta ^n/\partial \Delta ^n))) \cong \Delta ^1\)
そのために, Lee [Lee72] や Latch [Lat77] などの \(c\) の代わりとなる functor を構成する試みがある。Latch と
Thomason と Wilson は, [LTW79] で Latch の構成した functor \(\Gamma \) の right adjoint と nerve
functor \(N\) の比較をし, 各 object で weak equivalence になることを示している。
一方, 小圏に対しては simplicial set の細分に対応する操作もできる。
小圏の圏には, もう一つ, 圏の同値を weak equivalence とするモデル構造も定義できる。Joyal と Tierney により,
[JT91] で定義された。
- Joyal と Tierney の model structure (folk model structure)
他にも小圏のホモトピー論の試みとしては, Evrard [Evr75] や Hoff [Hof75] のものもある。Evrard は
morphism を道と考え, それによりホモトピーや path space や loop space の類似を構成していて, Thomason の
model structure より直感的に分かりやすい。Minian により [Min02] などで詳しく調べられている。Minian は,
このホモトピーにより小圏の圏が \(\Lambda \)-cofibration category という構造を持ち, ホモトピー圏が構成できることを示している。
- 小圏の圏の \(\Lambda \)-cofibration structure
小圏より基本的な構造である quiver の圏のモデル構造については, Bisson と Tsemo により [BT09]
で構成されたものがある。その元になっているのは, Enochs と Herzog の [EH99] のようであるが。
Kuber と Wilding [KW] は, nerve や分類空間を取らずに, category theory
の言葉だけで小圏のホモトピー論を構築することを考えている。
高次の小圏のホモトピー論も色々考えられている。 Strict \(2\)-category の Thomason 流のホモトピー論は Chiche の
[Chi15; Chi] や Ara の [Ara] で調べられている。
Strict \(n\)-category については, Ara と Maltsiniotis の一連の研究 [AM14; AM] や Gagna の
[Gag18] がある。 Strict \(\omega \)-category については, Steiner の augmented directed complex
を用いたアプローチ [Ste04]がある。
References
-
[AM]
-
Dimitri Ara and Georges Maltsiniotis. The homotopy type of the
\(\infty \)-category associated to a simplicial complex. arXiv: 1503.02720.
-
[AM14]
-
Dimitri Ara and Georges Maltsiniotis. “Vers une structure de
catégorie de modèles à la Thomason sur la catégorie des \(n\)-catégories
strictes”. In: Adv. Math. 259 (2014), pp. 557–654. arXiv: 1305.5086.
url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2014.03.013.
-
[Ara]
-
Dimitri Ara. Model category structures à la Thomason on 2-Cat.
arXiv: 1607.03644.
-
[BT09]
-
Terrence Bisson and Aristide Tsemo. “A homotopical algebra
of graphs related to zeta series”. In: Homology Homotopy
Appl. 11.1 (2009), pp. 171–184. arXiv: 0802 . 3859. url:
http://projecteuclid.org/euclid.hha/1251832564.
-
[Chi]
-
Jonathan Chiche. La théorie de l’homotopie des 2-catégories. arXiv:
1411.6936.
-
[Chi15]
-
Jonathan Chiche. “Théories homotopiques des 2-catégories”. In: Cah.
Topol. Géom. Différ. Catég. 56.1 (2015), pp. 15–75. arXiv: 1309.
0191.
-
[Cis99]
-
Denis-Charles Cisinski. “La classe des morphismes de Dwyer n’est
pas stable par retractes”. In: Cahiers Topologie Géom. Différentielle
Catég. 40.3 (1999), pp. 227–231.
-
[CMM]
-
I. Carcacía-Campos, E. Macías-Virgós, and D. Mosquera-Lois.
Homotopy invariants in small categories. arXiv: 2206.00651.
-
[EH99]
-
Edgar E. Enochs and Ivo Herzog. “A homotopy of quiver morphisms
with applications
to representations”. In: Canad. J. Math. 51.2 (1999), pp. 294–308.
url: http://dx.doi.org/10.4153/CJM-1999-015-0.
-
[Evr75]
-
Marcel Evrard. “Fibrations de petites
catégories”. In: Bull. Soc. Math. France 103.3 (1975), pp. 241–265.
url: http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1975__103__241_0.
-
[FL79]
-
Rudolf Fritsch and Dana May Latch. “Homotopy inverses for nerve”.
In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1.1 (1979), pp. 258–262. url:
http://dx.doi.org/10.1090/S0273-0979-1979-14579-8.
-
[FL81]
-
Rudolf Fritsch and Dana May Latch. “Homotopy inverses
for nerve”. In: Math. Z. 177.2 (1981), pp. 147–179. url:
http://dx.doi.org/10.1007/BF01214196.
-
[Gag18]
-
Andrea Gagna. “Strict
\(n\)-categories and augmented directed complexes model homotopy
types”. In: Adv. Math. 331 (2018), pp. 542–564. arXiv: 1612.04450.
url: https://doi.org/10.1016/j.aim.2018.04.010.
-
[Hof75]
-
Georges Hoff. “L’homotopie des catégories”. In:
Esquisses mathématiques, No. 23, Exp. No. 2. Fac. Sci., Univ. Paris
VII, Paris, 1975, pp. i+33.
-
[Ill71]
-
Luc Illusie. Complexe cotangent et déformations. I. Lecture Notes in
Mathematics, Vol. 239. Berlin: Springer-Verlag, 1971, pp. xv+355.
-
[Ill72]
-
Luc Illusie. Complexe cotangent et déformations. II. Lecture Notes in
Mathematics, Vol. 283. Berlin: Springer-Verlag, 1972, pp. vii+304.
-
[JT91]
-
André Joyal and Myles Tierney. “Strong stacks and classifying
spaces”. In: Category theory (Como, 1990). Vol. 1488. Lecture
Notes in Math. Berlin: Springer, 1991, pp. 213–236. url:
http://dx.doi.org/10.1007/BFb0084222.
-
[KW]
-
Amit Kuber and David Wilding. Taxotopy Theory of Posets I: van
Kampen Theorems. arXiv: 1510.08921.
-
[Lat77]
-
Dana May Latch. “The uniqueness of homology for the category of
small
categories”. In: J. Pure Appl. Algebra 9.2 (1976/77), pp. 221–237.
url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(77)90068-8.
-
[Lee72]
-
Ming Jung Lee. “Homotopy for functors”. In: Proc. Amer. Math. Soc.
36 (1972), 571–577, erratum, ibid. 42 (1973), 648–650.
-
[LTW79]
-
Dana May Latch, Robert W. Thomason, and W. Stephen Wilson.
“Simplicial sets from categories”. In: Math. Z. 164.3 (1979),
pp. 195–214. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01182267.
-
[Min02]
-
Elias Gabriel Minian. “\(\mathcal {C}at\) as a \(\Lambda \)-cofibration category”. In: J. Pure Appl.
Algebra 167.2-3 (2002), pp. 301–314. url:
http://dx.doi.org/10.1016/S0022-4049(01)00034-2.
-
[MM20]
-
E. Macías-Virgós
and D. Mosquera-Lois. “Homotopic distance between functors”. In:
J. Homotopy Relat. Struct. 15.3-4 (2020), pp. 537–555. arXiv: 1902.
06322. url: https://doi.org/10.1007/s40062-020-00269-x.
-
[Qui73]
-
Daniel Quillen. “Higher algebraic \(K\)-theory. I”. In: Algebraic \(K\)-theory,
I: Higher \(K\)-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle,
Wash., 1972). Lecture Notes in Math., Vol. 341. Springer, Berlin,
1973, pp. 85–147.
-
[Ste04]
-
Richard
Steiner. “Omega-categories and chain complexes”. In: Homology
Homotopy Appl. 6.1 (2004), pp. 175–200. arXiv: math/0403237.
url: http://projecteuclid.org/euclid.hha/1139839551.
-
[Tan18]
-
Kohei Tanaka. “Lusternik-Schnirelmann category for categories and
classifying spaces”. In: Topology Appl. 239 (2018), pp. 65–80. url:
https://doi.org/10.1016/j.topol.2018.02.031.
-
[Tho80]
-
R. W. Thomason. “Cat as a closed model category”. In: Cahiers
Topologie Géom. Différentielle 21.3 (1980), pp. 305–324.
-
[Wei13]
-
Charles A. Weibel. The \(K\)-book. Vol. 145. Graduate Studies in
Mathematics. An introduction to algebraic \(K\)-theory. Providence,
RI: American Mathematical Society, 2013, pp. xii+618. isbn:
978-0-8218-9132-2.
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