小圏のホモトピー論

小圏を幾何学的対象とみなし, その性質を調べることは重要である。基本的なのは, 小圏の圏から simplicial set の圏への nerve functor, そして, それの幾何学的実現を行った分類空間を取る functor である。 その分類空間のホモトピー型を調べるときの基本的な定理として, Quillen が [Qui73] で証明した Theorem A と B がある。

ある monoidal category \(\bm {V}\) の category object になっている小圏 (つまり \(\bm {V}\) での internal category) の場合には, nerve は \(\bm {V}\) における simplicial object になる。この意味で, nerve の方 が基本的な functor である。

いくつかの \(\bm {V}\) については, 「幾何学的実現」をとり分類空間を構成することもできる。例えば, \(\bm {V}\) が位相空間の圏の場合である。

また, \(C\) が \(\bm {V}\) で enrichされた小圏の場合は, その nerve \(N_{\bullet }C\) は \(\bm {V}\) の simplicial object にはならない。 \(N_{0}C\) は単なる集合で, \(\bm {V}\) の object ではないからである。 そのような場合でも, nerve や幾何学的実現に対応するものを定義できるときもある。 例えば, \(\bm {V}\) が小圏の圏の場合, \(\bm {V}\) で enrich された category とは, strict \(2\)-category であるが, それに対しては, nerve の構成にいくつかの方法がある。

分類空間あるいは nerve をとることにより, 小圏はホモトピー論の手法を用いて調べることができるようになる。 その基本的な性質としては, Quillenの [Qui73] をみるとよい。他には, Weibel の本 [Wei13] の第IV章が便利である。各種小圏について, この分類空間を取って位相空間として考える手法は重要である。

Poset については, 組み合せ論的な視点から詳しく研究されているので, その結果を小圏に一般化するのは興味深い問題である。 その一つの例として, Leinster による小圏のEuler characteristic の定義がある。

Euler 標数と言えばホモロジーであるが, small category の(コ)ホモロジーも様々な場面で登場する。

Euler 標数や(コ)ホモロジー以外にも, 色々不変量は考えられている。 例えば, Tanaka [Tan18] は Lusternik-Schnierelmann category の類似を定義し調べている。 Macías-Virgós と Mosquera-Lois [MM20] は, homotopic distance の概念を functor に対し定義し, それを用いて topological complexity の類似を定義している。更に, 彼等は Carcacía-Campos との共著 [CMM] で, higher homotopic distance を導入し, それを用いて higher topological complexity を導入している。

  • small category の Lusternik-Schnierelmann category
  • functor の homotopic distance
  • small category の topological complexity
  • functor の higher homotopic distance
  • small category の higher topological complexity

より現代的な言葉を用いると, 小圏のホモトピー論とは, 小圏の圏にモデル圏の構造を入れることである。 そして nerve をとる functor が weak equivalence を保つようにできるとよい。 そのようなモデル構造としては, Thomason が [Tho80] で定義したものがある。 一部不備があり, Cisinski が [Cis99] で修正している。

  • Thomason の model structure

Gagna の [Gag18] によると, nerve functor が小圏の category の homotopy category と simplicial set の category の homotopy の間の圏同値であることは, Thomason よりずっと前に, Illusie の thesis [Ill71; Ill72] に書かれているらしい。ただし, Quillen よるそうであるが。 それを model category の言葉を用いて精密化したのが, Thomason の定理であると解釈すべきだろう。

もっとも, nerve functor には色々欠点もある。例えば, Fritsch と Latch により [FL79; FL81] で指摘されているように, nerve functor の left adjoint \(c\), つまり simplicial set を “category化” する functor は nerve functor の inverse になっていない。

  • \(n\ge 2\) に対し \(N(c(\Delta ^n/\partial \Delta ^n)) \cong \Delta ^0\)
  • \(n\ge 2\) に対し \(N(c(\Sd ((\Delta ^n/\partial \Delta ^n))) \cong \Delta ^1\)

そのために, Lee [Lee72] や Latch [Lat77] などの \(c\) の代わりとなる functor を構成する試みがある。Latch と Thomason と Wilson は, [LTW79] で Latch の構成した functor \(\Gamma \) の right adjoint と nerve functor \(N\) の比較をし, 各 object で weak equivalence になることを示している。

一方, 小圏に対しては simplicial set の細分に対応する操作もできる。

小圏の圏には, もう一つ, 圏の同値を weak equivalence とするモデル構造も定義できる。Joyal と Tierney により, [JT91] で定義された。

  • Joyal と Tierney の model structure (folk model structure)

他にも小圏のホモトピー論の試みとしては, Evrard [Evr75] や Hoff [Hof75] のものもある。Evrard は morphism を道と考え, それによりホモトピーや path space や loop space の類似を構成していて, Thomason の model structure より直感的に分かりやすい。Minian により [Min02] などで詳しく調べられている。Minian は, このホモトピーにより小圏の圏が \(\Lambda \)-cofibration category という構造を持ち, ホモトピー圏が構成できることを示している。

  • 小圏の圏の \(\Lambda \)-cofibration structure

小圏より基本的な構造である quiver の圏のモデル構造については, Bisson と Tsemo により [BT09] で構成されたものがある。その元になっているのは, Enochs と Herzog の [EH99] のようであるが。

Kuber と Wilding [KW] は, nerve や分類空間を取らずに, category theory の言葉だけで小圏のホモトピー論を構築することを考えている。

高次の小圏のホモトピー論も色々考えられている。 Strict \(2\)-category の Thomason 流のホモトピー論は Chiche の [Chi15; Chi] や Ara の [Ara] で調べられている。

Strict \(n\)-category については, Ara と Maltsiniotis の一連の研究 [AM14; AM] や Gagna の [Gag18] がある。 Strict \(\omega \)-category については, Steiner の augmented directed complex を用いたアプローチ [Ste04]がある。

References

[AM]

Dimitri Ara and Georges Maltsiniotis. The homotopy type of the \(\infty \)-category associated to a simplicial complex. arXiv: 1503.02720.

[AM14]

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