トポロジーにおけるgroupoid

トポロジーにおけるgroupoidの役割は, 大きく分けると二つある。

まず, groupoid は fundamental groupoid として自然に現われる概念である。

• fundamental groupoid \(\Pi _1(X)\) の定義。
• 高次ホモトピー群 \(\pi _n(X)\) は \(\pi _n(X)(x)=\pi _n(X,x)\) により, functor \[ \Pi _1(X) \longrightarrow \category{Group} \] とみなせる。(Andersonの[And78])

被覆空間の理論も, groupoidに拡張できる。Ron Brown の本[Bro88] や Higgins の本 [Hig71], そして Luo の [Luo] などがある。

もう一つの groupoid の役割は, “generalized space” としてのものである。例えば, 群の作用や foliation, そして orbifold なども groupoid の言葉で記述できる。これらは位相群や Lie群の一般化でもある。群の作用の一般化として, Bak が higher algebraic \(K\)-theory の解釈のために考えた global action という概念も, groupoid を用いて記述するのがよい。Bak と Brown と Minian と Porter の [Bak+06] を見るとよい。Global action を一般化した groupoid atlas という概念を導入している。

• global action
• groupoid atlas

これらは, topological groupoid の例である。

• topological groupoid のホモトピー論

Topological groupoid は, Mondello の [Mon08] で Riemann 面の moduli space を調べるのに用いられている。その §1 には, orbispace や orbisimplicial complex も含め基本的なことがらがまとめられている。

Topological groupoid の空間への作用も考えることができる。Emerson と Meyer の [EM10] の §2 を見るとよい。

“Generalized space” として groupoid を扱う際には, そのホモトピー論を展開しようと考えるのは自然だろう。Groupoid の fibration は, [Bro70] で導入されたようである。(位相を持たない) groupoid の圏の モデル構造は, Anderson の [And78] に書いてある。実際にモデル圏になることの証明は, Strickland の [Str00] を見るとよい。Hollander の [Hol08] もある。

• groupoid の圏のモデル構造

Topological groupoid の圏のモデル構造については, 扱った論文を知らない。 Weak equivalence については, Colman が [Col11] で定義したものがあるが。

• Colman の groupoid homotopy

Deformation theory をやろうと思うと, Hochschild homology が必要になる。 ということは, cyclic homology も考えられる。 これらについては [Neu+] という論文に詳しい。 また, groupoid の cyclic cohomology については, Crainic が [Cra99] で調べている。Crainic は Chern-Weil theory の noncommutative version [Cra02] についても考えている。

• groupoid の cyclic homology

[Fio06] は discrete groupoid 上の積分を定義し, それにより Feynman diagram 上の和のような, graph 上の和を解釈しようという試みである。

幾何学的構造を持ったものとして Lie groupoid そして symplectic groupoid などがある。

• symplectic groupoid

Karabegov の [Kar] によると, Weinstein の [Wei87; CDW87], Karasev の [Kar86] そして Zakrzewski の [Zak90a; Zak90b] で独立に定義されたようである。Formal symplectic groupoid という概念 [CDF05] もある。

Deformation theory では, Deligne groupoid と呼ばれる groupoid が使われる。Goldman と Millson の [GM88] で登場したのが最初のようである。

• Deligne groupoid

高次の圏を用いて 高次の groupoid を定義することもできる。Cisinski [Cis07] は, \(CW\)複体の圏が weak \(\omega \)-groupoid の圏に埋め込めることを示した。

References

[And78]

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[Bak+06]

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[Bro70]

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[Bro88]

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[CDF05]

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[CDW87]

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[Cis07]

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[Cra99]

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