Maps on Surfaces

このページのタイトルの map は, 「写像」ではなく「地図」という意味である。 地球上の地図を平面や球面の胞体分割と考え, より一般の 曲面の胞体分割を map というわけである。

\(2\)次元球面の胞体分割の中でも, 特に, 凸多面体によるものの曲面版として考えられることが, 多いように思う。なので, 正多面体に対応する regular map が考えられている。 McMullen と Schulte [MS97] は, regular map については Coxeter と Moser の [CM80] を参照している。

• regular map

正多面体のときと異なり, 面の合同を考えることが難しいので, 組み合せ論的構造を考えることになる。よって abstract polytope として扱うのが自然である。

Regular の条件を弱めた, equivelar map や semiequivelar map などの概念がある。Equivelar map は McMullen, Schulz, Wills の [MSW82] で導入されたものである。 面が全て同じ \(p\) 角形であり, 頂点の周りの様子, つまり vertex figure も同じであるものとして定義される。

• equivelar map
• semiequivelar map

Semiequivelar map は, 頂点のまわりの面の並びが同じという条件で定義される。 頂点のまわりの条件で定義されるので vertex transitive と近い条件である。 Datta と Maity [BU21] は \(S^{2}\) 上では, vertex transitive ではない semiequivelar map は一つしかないことを示している。 Bhowmik と Upadhyay [BU21] は, Euler 標数 が \(-2\) で頂点が12個以下の曲面の semiequivelar map を決定し分類している。

一方, \(2\)次元球面の胞体分割はその \(1\)-skeleton で決まるので, map をグラフの埋め込みと考えることもできる。そのように考えて, 辺に向きを付けたものを dimap という。[Far18] など。 Grothendieck の dessin d’enfant もそのようなものである。

• graphs on surfaces
• dimap
• dessin d’enfant

関連したものとして, hypermap と呼ばれる構造がある。 Cori の [Cor75] で導入された。Cori と Machi の survey [CM92] がある。 Nedela による [Ned] もある。

• hypermap

References

[BU21]

Debashis Bhowmik and Ashish Kumar Upadhyay. “Some semi-equivelar maps of Euler characteristics-2”. In: Nat. Acad. Sci. Lett. 44.5 (2021), pp. 433–436. arXiv: 1904.07696. url: https://doi.org/10.1007/s40009-020-01026-7.

[CM80]

H. S. M. Coxeter and W. O. J. Moser. Generators and relations for discrete groups. Fourth. Vol. 14. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Results in Mathematics and Related Areas]. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1980, pp. ix+169. isbn: 3-540-09212-9.

[CM92]

Robert Cori and Antonio Machı̀. “Maps, hypermaps and their automorphisms: a survey. I, II, III”. In: Exposition. Math. 10.5 (1992), pp. 403–427, 429–447, 449–467.

[Cor75]

Robert Cori. Un code pour les graphes planaires et ses applications. With an English abstract, Astérisque, No. 27. Société Mathématique de France, Paris, 1975, pp. i+169. url: http://www.numdam.org/item?id=AST_1975__27__1_0.

[Far18]

G. E. Farr. “Minors for alternating dimaps”. In: Q. J. Math. 69.1 (2018), pp. 285–320. arXiv: 1311.2783. url: https://doi.org/10.1093/qmath/hax039.

[MS97]

P. McMullen and E. Schulte. “Regular polytopes in ordinary space”. In: Discrete Comput. Geom. 17.4 (1997). Dedicated to Jörg M. Wills, pp. 449–478. url: https://doi.org/10.1007/PL00009304.

[MSW82]

P. McMullen, Ch. Schulz, and J. M. Wills. “Equivelar polyhedral manifolds in \(E^{3}\)”. In: Israel J. Math. 41.4 (1982), pp. 331–346. url: https://doi.org/10.1007/BF02760539.

[Ned]

Roman Nedela. Maps, Hypermaps and Related Topics. url: https://www.savbb.sk/~nedela/CMbook.pdf.