Ribbon graph

Ribbon graph とは, graph に幅を持たせたものである。 通常の graph を\(1\)次元 cell complex とみなし曲面に埋め込むと, その tubular neighborhood として得られる。Penner ら [Pen+] は fat graph と呼んでいる。

• 曲面に埋め込まれた graph や quiver

グラフの変種なので, グラフ理論的な研究も行なわれている。例えば, Tutte polynomial の ribbon version が Bollobás と Riordan [BR01; BR02] により発見されている。

• Bollobás-Riordan polynomial あるいは topological Tutte polynomial
• ribbon graph に対する polynomial invariant

Chun, Moffatt, Noble, Rueckriemen [Chu+] によると, matroid が graph の一般化になっているように, \(\Delta \)-matroid は ribbon graph の一 般化になっているようである。 よって Bollobás-Riordan polynomial なども, \(\Delta \)-matroid に拡張できる。

Ribbon graph は, 様々な分野に現われていて, 興味深い。例えば次のようなもの。

• quantum group の表現 [RT90]
• string topology
• moduli space of curves

代数曲線の moduli space との関係では, ribbon graph の moduli space が構成されている。

• ribbon graph の moduli space

Trivalent ribbon graph の辺に各頂点の周りで cyclic になるような番号付けをしたものを, spin network というらしい。Quantum spin network というものもある。 Garoufalidis と van der Veen の [GVD] の Introduction を見 るとよい。

• spin network
• quantum spin network

このようなものは, “structured surface” に対する ribbon graph の一般化と考えられる。そのようなものを扱う枠組みとして, Dyckerhoff と Kapranov の [DK15] がある。彼等は, そのために必要な概念は crossed simplicial group であると言っている。そのようなものが現れるのは, ちょっと驚きである。

References

[BR01]

Béla Bollobás and Oliver Riordan. “A polynomial invariant of graphs on orientable surfaces”. In: Proc. London Math. Soc. (3) 83.3 (2001), pp. 513–531. url: http://dx.doi.org/10.1112/plms/83.3.513.

[BR02]

Béla Bollobás and Oliver Riordan. “A polynomial of graphs on surfaces”. In: Math. Ann. 323.1 (2002), pp. 81–96. url: http://dx.doi.org/10.1007/s002080100297.

[Chu+]

Carolyn Chun, Iain Moffatt, Steven D. Noble, and Ralf Rueckriemen. Matroids, Delta-matroids and Embedded Graphs. arXiv: 1403.0920.

[DK15]

T. Dyckerhoff and M. Kapranov. “Crossed simplicial groups and structured surfaces”. In: Stacks and categories in geometry, topology, and algebra. Vol. 643. Contemp. Math. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, pp. 37–110. arXiv: 1403.5799. url: http://dx.doi.org/10.1090/conm/643/12896.

[GVD]

Stavros Garoufalidis, Roland van der Veen, and with an appendix by Don Zagier. Asymptotics of classical spin networks. arXiv: 0902.3113.

[Pen+]

R. C. Penner, Michael Knudsen, Carsten Wiuf, and Joergen Ellegaard Andersen. Fatgraph Models of Proteins. arXiv: 0902.1025.

[RT90]

N. Yu. Reshetikhin and V. G. Turaev. “Ribbon graphs and their invariants derived from quantum groups”. In: Comm. Math. Phys. 127.1 (1990), pp. 1–26. url: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104180037.