Category of Convex Polytopes

2つの凸多面体の間の affine map の集合は, 自然にまた凸多面体になるので, 凸多面体の圏は closed monoidal category になりそうな気がする。 実際, そのための “tensor product” を Valby が thesis [Val06] で導入している。 同様のことを Bogart, Contois, Gubeladze [BCG13] が考えているが, それは Valby とは独立に考えられたようである。

• Hom polytope
• tensor product of polytopes

Bakuradze, Gamkrelidze, Gubeladze [BGG16] は, その凸多面体の category を含むような polytopal complex の category を考えることを提案し, polytopal complex に対し Hom polytope を拡張している。更にその polytopal complex の category を conical complex の category に埋め込んで考えている。

Ziegler は, その著書 [Zie95] の中で, fiber polytope がfibration の役割をする polytope の category があるか, という問題を提案している。

Gubeladze [Gub19] は, fiber polytope を fibration ではなく kernel の類似と考えているようであるが。

References

[BCG13]

Tristram Bogart, Mark Contois, and Joseph Gubeladze. “Hom-polytopes”. In: Math. Z. 273.3-4 (2013), pp. 1267–1296. arXiv: 1111.3880. url: https://doi.org/10.1007/s00209-012-1053-5.

[BGG16]

Malkhaz Bakuradze, Alexander Gamkrelidze, and Joseph Gubeladze. “Affine hom-complexes”. In: Port. Math. 73.3 (2016), pp. 183–205. arXiv: 1407.6870. url: https://doi.org/10.4171/PM/1984.

[Gub19]

Joseph Gubeladze. “Affine-compact functors”. In: Adv. Geom. 19.4 (2019), pp. 487–504. arXiv: 1608.04177. url: https://doi.org/10.1515/advgeom-2019-0004.

[Val06]

Laurence Vincent Valby. A Category of Polytopes. B.A. Thesis. 2006. url: http://people.reed.edu/~davidp/homepage/students/valby.pdf.

[Zie95]

Günter M. Ziegler. Lectures on polytopes. Vol. 152. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1995, pp. x+370. isbn: 0-387-94365-X. url: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8431-1.