Kunnethスペクトル系列と普遍係数スペクトル系列

( Singular homology の) Künneth の定理 (short exact sequence の形) が成り立つためには, 係数環に条件が必要である。 その条件がみたされない場合は, Künneth スペクトル系列という形になる。普遍係数定理に対しても, 普遍係数スペクトル系列がある。

また 一般(コ)ホモロジーでも, Künneth スペクトル系列や, 普遍係数スペクトル系列を考えることができる。

私は, 学生のときに Adams の本 [Ada74] で知った。 この時代の文献としては, 他にも [Ada69; Lin71] などがある。

Künneth スペクトル系列の構成としては, Larry Smith [Smi70b; Smi70a] による fiberwise space の圏での構成もある。 Smith の構成は cobar型 Eilenberg-Moore スペクトル系列の一つの構成法とみなすことができる。

• Larry Smith の display による Künneth スペクトル系列の構成

Adams の本 [Ada74] の構成では, ring spectrum に有限 spectrum の colimit になっている, などの不自然な条件が必要であるが, EKMM の spectrum (\(S\)-module) のような, symmetric monoidal category を成す現代的な spectrum を用いれば, そのような条件無しに, 代数的な構成を真似て構成することができる。[Elm+97] の Chapter IV の section 4 に書いてある。

もっとも, このためだけに \(S\)-module を勉強するのは効率が悪い。 普遍係数スペクトル系列の構成のためなら, Robinson の [Rob87] を読むのが良いと思う。 \(A_{\infty }\)-ring spectrum に対して, 構成できることが示されている。

• EKMM の spectrum による Künneth スペクトル系列と普遍係数スペクトル系列の構成
• Robinson による \(A_{\infty }\)-ring spectrum に対する普遍係数スペクトル系列の構成

EKMM の Künneth スペクトル系列の応用としては, Baker と Richter の \(\ell _*(\ell )\) の構造の研究 [BR08] がある。ここで, \(\ell \) とは connective complex \(K\)-theory を奇素数で localize したときの Adams summand である。

一般コホモロジーでの universal coefficient spectral sequence が \(E_{2}\)-term で collapse する条件としては, Davis と Greenlees が [DG23] で考えているものがある。

もちろん, この手のスペクトル系列は, 構成できたとしても, その収束に問題があるときが多い。例えば, equivariant \(K\)-theory の Künneth スペクトル系列については, Rosenberg の [Ros13] の Introduction と, そこに挙げられている文献を見るとよい。

References

[Ada69]

J. F. Adams. “Lectures on generalised cohomology”. In: Category Theory, Homology Theory and their Applications, III (Battelle Institute Conference, Seattle, Wash., 1968, Vol. Three). Berlin: Springer, 1969, pp. 1–138.

[Ada74]

J. F. Adams. Stable homotopy and generalised homology. Chicago, Ill.: University of Chicago Press, 1974, p. x 373.

[BR08]

Andrew Baker and Birgit Richter. “On the cooperation algebra of the connective Adams summand”. In: Tbil. Math. J. 1 (2008), pp. 33–70. arXiv: math/0506455.

[DG23]

Donald M. Davis and J. P. C. Greenlees. “Gorenstein duality and universal coefficient theorems”. In: J. Pure Appl. Algebra 227.5 (2023), Paper No. 107265, 12. arXiv: 2206.11391. url: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2022.107265.

[Elm+97]

A. D. Elmendorf, I. Kriz, M. A. Mandell, and J. P. May. Rings, modules, and algebras in stable homotopy theory. Vol. 47. Mathematical Surveys and Monographs. With an appendix by M. Cole. American Mathematical Society, Providence, RI, 1997, pp. xii+249. isbn: 0-8218-0638-6. url: https://doi.org/10.1090/surv/047.

[Lin71]

T. Y. Lin. “Homological algebra of stable homotopy ring \(\pi _{*}\) of spheres”. In: Pacific J. Math. 38 (1971), pp. 117–143. url: http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102970265.

[Rob87]

Alan Robinson. “The extraordinary derived category”. In: Math. Z. 196.2 (1987), pp. 231–238. url: https://doi.org/10.1007/BF01163657.

[Ros13]

Jonathan Rosenberg. “The Künneth theorem in equivariant \(K\)-theory for actions of a cyclic group of order 2”. In: Algebr. Geom. Topol. 13.2 (2013), pp. 1225–1241. arXiv: 1208.6355. url: https://doi.org/10.2140/agt.2013.13.1225.

[Smi70a]

Larry Smith. Lectures on the Eilenberg-Moore spectral sequence. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 134. Berlin: Springer-Verlag, 1970, pp. vii+142.

[Smi70b]

Larry Smith. “On the Künneth theorem. I. The Eilenberg-Moore spectral sequence”. In: Math. Z. 116 (1970), pp. 94–140. url: https://doi.org/10.1007/BF01109956.