Hochschild (co)homology の一般化

Hochschild (co)homology は, 元々 associative algebra に対して定義されたものであるが, 様々な形で一般化が考えられていて面白い。

Associative algebra の場合にまず知っておくべきなのが, differential graded algebra (dg algebra) への拡張と, その Shukla (co)homology [Shu61] との関係である。

• dg algebra の Hochschild (co)homology
• associative algebra の Shukla (co)homology

Baues と Pirashvili [BP] によると, Shukla cohomology の意味は次の通りである。\(A\) がその ground ring \(k\) 上 projective なら \(A\) の Hochschild cohomology は良い性質を持つが, そうでない場合は「良い resolution」を取ってから Hochschild cohomology を取らないといけない。 それを行なったのが Shukla cohomology で, \(A\) が ground ring 上 projective な場合は, Hochschild cohomology と同型になる。

その「良いresolution」の定義には, dg algebra の圏の model structure を用いる。つまり associative algebra \(A\) を自明な微分を持つ dg algebra とみなし, dg algebra の圏での cofibrant replacement \(A^c\) をとる。その dg algebra としての Hochschild cohomology が \(A\) の Shukla cohomology である。

Shukla cohomology と関連した構成として, derived Hochschild functor と呼ばれるものがある。Avramov, Iyengar, Lipman, Nayak の [Avr+10] や Shaul の [Sha] などで調べられている。

• derived Hochschild functor

Dg algebra の Hochschild (co)homology は, “many objectification” である dg category の場合に拡張されている。もちろん, \(k\) 上の associative algebra の “many objectification” である \(k\)-linear category に対しては, もっと古くから考えられている。Mitchell の [Mit72] が最初だろうか。 Hochschild-Mitchell (co)homology と呼ばれることもあるようである。Yetter の [Yet09] では, \(k\)-linear category の deformation theory のために使われている。

• dg category の Hochschild (co)homology
• Hochschild-Mitchell (co)homology

\(A_{\infty }\)-category の場合については, Sheridan の [She] を見るとよい。

Hochschild (co)homology の構成は, McCarthy [McC94] により exact category に対する構成に拡張されている。 射影的加群の成す exact category の場合が, 古典的な Hochschild complex を用いた構成に対応する。それにより, algebraic \(K\)-theory からの Dennis trace map が explicit に構成できることが, Kantorovitz と Miller [KM00] により示されている。また, Kantorovitz は, [Kan99] で \(\Q \)-algebra に対しては, Dennis trace map が Adams operation と可換であることも示している。

• exact category の Hochschild homology
• Dennis trace map

Dg category に対して定義されるということは, dg enhancement を持つ triangulated category に対しても定義されるということである。

• (dg enhancement を持つ) triangulated category の Hochschild (co)homology

Curved dg algebra や curved dg category へも Polishchuk と Positselski [PP12] により拡張されている。 Curved dg algebra から dg category を作り, その dg category の通常の Hochschild homology としても定義できるが, 彼等はそれ以外にも Hochschid homology of the second kind という構成を導入して調べている。

• curved dg category の Hochschild homology of the second kind

それについて, Efimov [Efi18] が Hochschild-Kostant-Rosenberg の定理の類似を証明している。

Hochschild homology は, Kaledin の [Kal15] にもあるように, bimodule に対する trace と考えることができる。Kaledin は, その視点から, non-additive trace functor により twist した Hochschild homology や cyclic homology を定義している。

• twisted Hochschild homology

一方で, scheme に対しては, Loday [Lod86], Weibel [Wei96], Swan [Swa96] による定義がある。Kuznetsov [Kuz] によると, これらと, scheme の bounded derived category の dg enhancement を用いた定義が一致することは, Keller の [Kel98] や Toën の [Toë07] から分かるようである。

Koszul (co)homology という変種もある。Berger と Lambre と Solotar [BLS18] が quadratic algebra に対し定義したものであり, Koszul algebra のときには Hochschild (co)homology と一致する。

• Koszul (co)homology

更に, Hochschild homology の定義は, ring spectrum やその “many objectification” である spectral category にも一般化されている。 いわゆる topological Hochschild homology とも呼ばれるものである。Cyclic homology なども spectrum level の構成が知られている。

• topological Hochschild homology

環上の bimodule を係数とする homology として Mac Lane homology という変種もある。Topological Hochschild homology とも関係が深い。

• Mac Lane (co)homology

このように, associative algebra に対しては, まず associative algebra としての Hochschild (co)homology, 次に dg algebra とみなした Hochschild (co)homology (Shukla (co)homology), そして ring spectrum とみなした topological Hochschild (co)homology (Mac Lane (co)homology) という三種類の Hochschild (co)homology が定義されるので, それらの関係を理解すべきだろう。 例えば, Baues と Pirashvili の [BP] など。

Maszczyk [Mas] によると, Yetter [Yet98; Yet01] は, Abelian monoidal category の間の monoidal functor に対する Hochschild cochain の構成が, associative algebra に対する Hochschild cochain の最も自然な一般化と考えているようである。

“Dual”としては, algebra を coalgebra に変えた構成が考えられる。Saneblidze [San09] は Cartier [Car56] を参照している。Hess らの [HPS09] によると, Doi の [Doi81] でも同様のことが考えられているようである。 そのtopological版は Hess と Shipley [HS21] により考えられている。

• coalgebra の Cartier homology あるいは coHochschild homology
• topological coHochschild homology

Hopf algebra (bialgebra) に対しては, Gerstenhaber と Schack [GS90] による構成がある。 いくつかの構成があるが, Taillefer [Tai04] により, その比較が行なわれている。

• Gerstenhaber と Schack の bialgebra homology

Gerstenhaber と Schack は, その仕事の前に [GS83; GS88b; GS88a] で poset 上の algebra の presheaf の cohomology を定義している。 その拡張として, Dinh Van と Lowen [DL18] による prestack のコホモロジーがある。

• Gerstenhaber と Schack の algebra の presheaf の cohomology

群の cohomologyでの Tate cohomology の類似として negative side を持つ Tate-Hochschild cohomology を定義することもできる。

• Tate-Hochschild (co)homology

可換環に対しては, André-Quillen homology というものが定義される。また Hochschild homology と cyclic homology は Hodge decomposition を持ち, それらの summand として André-Quillen homology が現われる。

• André-Quillen homology
• Harrison homology

可換環の場合には, higher order Hochschild (co)homology が定義できる。 Lurie [Lur09; Lur] や Costello [Cos10]による, よりホモトピー論的 (higher category的) なものもある。

• higher order Hochschild (co)homology
• factorization homology あるいは topological chiral homology

Higher order Hochschild homology の \(q\)-analogue が Banerjee [Ban] により定義されている。

Bialgebra の作用を持つ algebra に対し拡張したのが, Kaygun の [Kay07] である。“Braided version” もある。Baez が [Bae94] で導入した。Akrami と Majid [AM04] は braided cyclic cohomology を導入し調べている。 Negronは [Neg] braided Hochschild cohomology の multiplicative structure を調べている。

• braided Hochschild (co)homology
• braided cyclic (co)homology

Ringed space に対する拡張は, Keller の [Kel98] にある。Loday の suggestion [Lod86] によるらしい。

Algebraic \(K\)-theory や cyclic homology なども含めて統一的に扱う試みとして, triangulated derivator を用いた, Tabuada の localizing invariant の概念 [Tab08] がある。

• dg category の成す derivator の上の localizing invariant

Kasparov の \(KK\)-theory のように, bivariant なものも考えられている。Kaygun と Khalkhali の [KK10] など。Kaygun は, [Kay07] で module algebra に対する Hochschild homology も定義している。

Fuchs, Schaumann, Schweigert [FSS17] は, \(k\)-algebra を \(k\)-linear monoidal category に取り変えて \(0\)次 Hochschild homology の類似を定義している。 Extended TQFT に使うことを考えているようである。

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