Mac Lane (co)homology

Mac Lane homology は, その名の通り Mac Lane により考えられた構成に基づくものである。 Mac Lane は, [Mac57] で Abel群 \(A\) に対し, その homology が \(A\) の Eilenberg-Mac Lane space の stable homology と同型になる chain complex \(Q(A)\) を構成した。

\(A\) が環の場合, \(Q(A)\) は dg algebra の構造を持ち, また augmentation \(Q(A)\to A\) により \(A\) を \(Q(A)\)-bimodule と思うことができるので, two-sided bar construction \(B(A,Q(A),A)\) が定義できる。 これは \(A\) 上の differential graded bimodule とみなすことができる。\(A\) 上の bimodule \(M\) が与えられると, cochain complex \(\Hom _{A^{\op }\otimes A}(B(A,Q(A),A),M)\) が得られるが, その cohomology が \(A\) の Mac Lane cohomology である。

Mac Lane (co)homology については, Janelidze と Pirashvili の [JP91] を読むのが良いと思う。そこには, original の構成と, ある functor の成す category 上の \(\Ext \) が一致することも書かれている。

その構成が two-sided bar construction によるものであることから, Hochschild cohomology との関係が予想されるが, それについても色々調べられている。 Shukla cohomology との関係については, Baues と Pirashvili の [BP] などがある。

Pirashvili と Waldhausen の [PW92] により, topological Hochschild homology と一致することが知られている。Stable \(K\)-theory とも一致 [DM94; DM95] するらしい。

具体的な計算としては, Franjou らによる [FLS94; FP98] などがある。

References

[BP]

Hans-Joachim Baues and Teimuraz Pirashvili. Shukla cohomology and additive track theories. arXiv: math/0401158.

[DM94]

Bjørn Ian Dundas and Randy McCarthy. “Stable \(K\)-theory and topological Hochschild homology”. In: Ann. of Math. (2) 140.3 (1994), pp. 685–701. url: http://dx.doi.org/10.2307/2118621.

[DM95]

Bjørn Ian Dundas and Randy McCarthy. “Erratum: “Stable \(K\)-theory and topological Hochschild homology””. In: Ann. of Math. (2) 142.2 (1995), pp. 425–426. url: http://dx.doi.org/10.2307/2118639.

[FLS94]

Vincent Franjou, Jean Lannes, and Lionel Schwartz. “Autour de la cohomologie de Mac Lane des corps finis”. In: Invent. Math. 115.3 (1994), pp. 513–538. url: http://dx.doi.org/10.1007/BF01231771.

[FP98]

Vincent Franjou and Teimuraz Pirashvili. “On the Mac Lane cohomology for the ring of integers”. In: Topology 37.1 (1998), pp. 109–114. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0040-9383(97)00005-0.

[JP91]

Mamuka Jibladze and Teimuraz Pirashvili. “Cohomology of algebraic theories”. In: J. Algebra 137.2 (1991), pp. 253–296. url: http://dx.doi.org/10.1016/0021-8693(91)90093-N.

[Mac57]

Saunders Mac Lane. “Homologie des anneaux et des modules”. In: Colloque de topologie algébrique, Louvain, 1956. Georges Thone, Liège, 1957, pp. 55–80.

[PW92]

Teimuraz Pirashvili and Friedhelm Waldhausen. “Mac Lane homology and topological Hochschild homology”. In: J. Pure Appl. Algebra 82.1 (1992), pp. 81–98. url: http://dx.doi.org/10.1016/0022-4049(92)90012-5.