Higher Order Hochschild (Co)homology

\(k\) 上の commutative algebra \(A\) の Hochschild complex \(HC(A)\) を simplicial module, つまり functor \(\Delta ^{\op } \to \lMod {k}\) と思ったときに, これが基点付き有限集合の圏 \(\category {Set}_{*}^{f}\) を経由することを, Loday が [Lod89] で示している。そのときの \(\Delta ^{\op }\) から基点付き有限集合の圏への functor, つまり有限基点付き simplicial set は, 円周 \(\Delta ^1/\partial \Delta ^1\) である。 \[ \xymatrix { \Delta ^{\op } \ar [rr]^{HC(A)} \ar [dr]_{\Delta ^1/\partial \Delta ^1} & & \lMod {k} \\ & \category {Set}_{*}^{f} \ar @{.>}[ur]_{L(A)} } \]

この \(\Delta ^1/\partial \Delta ^1\) を, 他の有限simplicial set に取り替えることにより, 可換環の Hochschild complex を有限 simplcial set 上の関手と見なすことができるというのは面白い。このような拡張を higher Hochschild (co)homology と呼ぶようである。 また, 上の図式の点線の functor を Loday construction と呼ぶようである。

• Loday construction

Ginot と Tradler と Zeinalian の [GTZ10] では, 文献として Pirashvili の [Pir00] が挙げられている。

Carolus と Laubacher [CL21] によると, Anderson の [And71] に implicit に現れているそうであるが, Turchin と Willwacher [TW19] は, 一般的な higher Hochschild homology の構成に至る先駆的発見として, Gerstenhaber と Schack [GS87] と Loday の [Lod89] を挙げている。 そこでは, 可換代数の Hochschild homology の Hodge タイプ分解が得られている。

一般の simplicial set に対する構成を発見したのは, Pirashvili [Pir00] であり, Hochschild-Pirashvili homology と呼ばれることも多い。

Pirashvili はl, 球面の場合に Hodge タイプの分解があることを示しているが, より一般に suspension になっている空間の場合に Hodge タイプの分解があることは, Turchin と Willwacher [TW19] により示されている。

Turchin と Willwacher は, 円周の wedge 和の場合に, 自由群の outer automorphism group の作用も構成している。

Ginot と Tradler と Zeinalian は, higher Hochschild chain を写像空間の代数的モデルとして使っている。

この構成は, topological Hochschild homology にも拡張されている。 Veen の [Vee18] によると, \(\Gamma \)-space に対して, Brun, Carlsson, Dundas の [BCD10] で, そして orthogonal spectrum に 対しては, Stolz のthesis と Brun, Dundas, Stolz の [BDS] で得られている。

Ginot と Tradler と Zeinalian [GTZ14; GTZ14] は, 公理論的に扱っているが, その際に simplicial set の成す \((\infty ,1)\)-category と commutative differential graded algebra の成す\((\infty ,1)\)-category の直積から commutative differential graded algebra の成す \((\infty ,1)\)-category への \((\infty ,1)\)-functor と考えている。

Corrigan-Salter [Cor15] は, higher Hochschild (co)homology の係数を拡張することを考えている。 また [Cor18] では noncommutative algebra への拡張を提案している。

類似のものとしては, Costello [Cos10] による factorization algebra に対する factorization homology, そして Lurie [Lur09; Lur] による topological chiral homology がある。 Markarian [Mar] は, manifoldic homology と呼ぶことを提案している。その言葉は Kapranov によるらしいが。

• factorization homology あるいは topological chiral homology あるいは manifoldic homology

Morrison と Walker の blob complex [MW12; MW11] は, \(n\)次元多様体 (と \(n\)-category) に対し chain complex を 対応させるものであるが, 多様体が \(S^1\) の場合 Hochschild chain に equivalent になるようである。彼等は, Deligne conjecture の類似も考えている。

• blob complex

上記の意味の higher Hochschild homology との関係はどうなっているのだろうか。

References

[And71]

D. W. Anderson. “Chain functors and homology theories”. In: Symposium on Algebraic Topology (Battelle Seattle Res. Center, Seattle, Wash., 1971). Springer, Berlin, 1971, 1–12. Lecture Notes in Math., Vol. 249.

[BCD10]

Morten Brun, Gunnar Carlsson, and Bjørn Ian Dundas. “Covering homology”. In: Adv. Math. 225.6 (2010), pp. 3166–3213. arXiv: 0706. 0626. url: http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2010.05.018.

[BDS]

Morten Brun, Bjørn Ian Dundas, and Martin Stolz. Equivariant Structure on Smash Powers. arXiv: 1604.05939.

[CL21]

Samuel Carolus and Jacob Laubacher. “Simplicial structures over the 3-sphere and generalized higher order Hochschild homology”. In: Categ. Gen. Algebr. Struct. Appl. 15.1 (2021), pp. 93–143. arXiv: 1707.03863. url: https://doi.org/10.52547/cgasa.15.1.93.

[Cor15]

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[Cor18]

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[Cos10]

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[GS87]

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[GTZ10]

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Grégory Ginot, Thomas Tradler, and Mahmoud Zeinalian. “Higher Hochschild Homology, Topological Chiral Homology and Factorization Algebras”. In: Comm. Math. Phys. 326.3 (2014), pp. 635–686. arXiv: 1011.6483. url: http://dx.doi.org/10.1007/s00220-014-1889-0.

[Lod89]

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[Lur]

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[Lur09]

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[MW12]

Scott Morrison and Kevin Walker. “Blob homology”. In: Geom. Topol. 16.3 (2012), pp. 1481–1607. arXiv: 1009 . 5025. url: https://doi.org/10.2140/gt.2012.16.1481.

[Pir00]

Teimuraz Pirashvili. “Hodge decomposition for higher order Hochschild homology”. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 33.2 (2000), pp. 151–179. url: http://dx.doi.org/10.1016/S0012-9593(00)00107-5.

[TW19]

Victor Turchin and Thomas Willwacher. “Hochschild-Pirashvili homology on suspensions and representations of \(\mathrm {Out}(F_n)\)”. In: Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 52.3 (2019), pp. 761–795. arXiv: 1507.08483. url: https://doi.org/10.24033/asens.2396.

[Vee18]

Torleif Veen. “Detecting periodic elements in higher topological Hochschild homology”. In: Geom. Topol. 22.2 (2018), pp. 693–756. arXiv: 1312.5699. url: https://doi.org/10.2140/gt.2018.22.693.